Verbindung hergestellt.connected.<br>num: 29538<br>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius <invalid@example.invalid>
DATE  : Sun, 28 Dec 2025 02:51:20 +0100
TEMA  : Re: Heute vor 25 Jahren
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Am 26.12.2025 um 23:53 schrieb Moebius:
> Am 26.12.2025 um 23:20 schrieb Moebius:
>> Am 24.12.2025 um 17:53 schrieb Stefan Ram:
>>>    Heute [2025-12-25] vor 25 Jahren [2000-12-25]:
>>>
>>> Willard Van Orman Quine stirbt.
>>>
>>>    Quine leistete mit seine Arbeiten zu Logik und Mengenlehre
>>>    Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik. Mit seinen Axiomen
>>>    "new foundations" versuchte er, eine Mengenlehre aufzubauen,
>>>    die bekannte Paradoxien vermeidet.
>>
>> Aus meiner Sicht ist NF so nahe dran an einer "naiven Mengenlehre", 
>> wie es eine Mengenlehre, die die bekannten Paradoxien (offenbar) 
>> vermeidet, nur sein kann.
> 
> Im Gegensatz dazu muss man in den "üblichen" Mengenlehren ZFC, NBG, MK, 
> usw. die Existenz vieler Mengen, die aus "naiver Sicht" 
> selbstverständlich existieren sollten, axiomatisch fordern/ 
> sicherstellen. Das mag zwar aus "mathematischer Sicht" in Ordnung sein, 
> "philosophisch" ist es aber nur wenig "zufriedenstellend".
> 
> Freges Ansatz scheiterte daran, dass er "de facto"
> 
>       ExAy(y e x <-> Phi[y])
> 
> OHNE Einschränkungen in Bezug auf Phi[.] akzeptiert hat (->Russellsche 
> Antinomie). Quines modifizierter Ansatz garantiert zwar nicht, dass die 
> Theorie nun widerspruchsfrei ist, aber die bekannten Antinomien der 
> "naiven Mengenlehre" sind (prima facie) ausgeschlossen.
> 
> Mehr noch:
> 
> "Since 2015, several candidate proofs by Randall Holmes of the 
> consistency of NF relative to ZF were available both on arXiv and on the 
> logician's home page. His proofs were based on demonstrating the 
> equiconsistency of a "weird" variant of TST, "tangled type theory with 
> λ-types" (TTTλ), with NF, and then showing that TTTλ is consistent 
> relative to ZF with atoms but without choice (ZFA) by constructing a 
> class model of ZFA which includes "tangled webs of cardinals" in ZF with 
> atoms and choice (ZFA+C). These proofs were "difficult to read, insanely 
> involved, and involve the sort of elaborate bookkeeping which makes it 
> easy to introduce errors". In 2024, Sky Wilshaw formalized a version of 
> Holmes' proof using the proof assistant Lean, finally resolving the 
> question of NF's consistency." (Wikipedia)
> 
> Again:
> 
> "since 2010, Holmes has claimed to have shown that NF is consistent 
> relative to the consistency of standard set theory (ZFC). In 2024, Sky 
> Wilshaw demonstrated the most complex part of Holmes's proof, 
> particularly the construction of a model for Tangled Type Theory (TTT) 
> using the Lean proof assistant." (Wikipedia)
> 
> Kurz (wenn das stimmt): Es gibt keinen Grund mehr "an NF zu zweifeln", 
> wenn man ZFC "akzeptiert". Ein SEHR STARKES Ergebnis!
> 
> Passend dazu aus einem Aufsatz von Thomas Forster:
> 
> "Indeed as far as we know we can safely add to NF some axioms to say 
> that the wellfounded sets form a model of ZFC. According to this view, 
> NF does not so much contradict ZFC as cover extra topics, such as the 
> universal set – phenomena about which ZF has nothing to say. This 
> underpins the view held by both Church and Quine, albeit in different 
> ways, that a synthesis of ZFC and NF could be obtained along these lines."
> 
> https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/
> 
>> Tatsächlich besteht sie aus genau 2 Axiomen (bzw. Axiomenschemata):
>>
>> Extensionality: AxAy(Az(z e x <-> z e y) -> x = y)
>>
>> Restricted Comprehension: ExAy(y e x <-> Phi[y]) ,
>>
>> wobei Phi[.] gewissen Bedingungen gehorchen muss. Es ist klar, dass 
>> hier nicht JEDE Formel zugelassen sein kann, weil z. B. "y !e y" 
>> sofort auf die Russellsche Antinomie führen würde, aber "y = y" ist z. 
>> B. zulässig (was bedeutet, dass es in NF eine "Allmenge" gibt).
>>
>> Interessant ist in diesem Zusammenhang viell. dass NF kein "axiom of 
>> infinity" benötigt: Die Existenz unendlicher Mengen folgt schon aus 
>> den beiden Axiomen allein.
>>
>> Lit.:https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/

Viell. beateht ja Interessa daran:

https://www.cambridge.org/core/books/quine-new-foundations-and-the-philosophy-of-set-theory/005B1ADD62287628BD2DDEC223880DC6

> P.S. Wer sich für den "Qualitätsunterschied" der deutschen Wikipedia im 
> Vergleich zur englischsprachige Wikipedia interessiert, soll mal
> 
> https://de.wikipedia.org/wiki/New_Foundations
> 
> mit
> 
> https://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations
> 
> vergleichen. "Gruselig" trifft es bei weitem nicht. :-(
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 


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