A Example: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 29246
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Tue, 8 Jul 2025 18:09:44 +0200 TEMA : Re: Einfachste Logik - Tarski NUMBER: 29236 SIZE : 3002 --------------------------------------------- On 07.07.2025 22:35, joes wrote: > Am Mon, 07 Jul 2025 18:06:32 +0200 schrieb WM: >> On 06.07.2025 21:31, joes wrote: >>> Am Sun, 06 Jul 2025 20:32:59 +0200 schrieb WM: >> >>>> Die gibt es ja auch nicht. Für eine Bijektion sind Paare aus >>>> Individuen erforderlich. Paare, die man nicht bennen kann, gehören zu >>>> Brei, aber nicht zu Bijektion. >>> Wie gesagt, die Primzahlen können nummeriert werden. >> Nicht alle, sondern nur die bekannten. > Dochdoch. Es gibt bestimmt nicht mehr als abzählbar viele Primzahlen. Falsch. Weder die natürlichen Zahlen noch die Primzahlen sind abzählbar. > >>> Ist {1, 2, 3} jetzt "potenziell unendlich? >> Die Menge der bekannten natürlichen Zahlen {1, 2, 3, ...} ist potentiell >> unendlich. > Nee, ich meine wirklich die Menge {1, 2, 3}. > Die ist endlich, kann aber ein Zustand der potentiell unendlichen Menge {1, 2, 3, ...} sein. Kleines Kind, Zählversuch. >> Es gibt keinen Grenzwert für die Menge der bekannten Primzahlen. > Nicht? Ich möchte doch glauben, dass jede Primzahl nach einer endlichen > Zeit gefunden werden kann. Das ist ein leicht als solcher nachweisbarer Irrglaube, denn dann würde die zuletzt gefundene die Unendlichkeit abschließen. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Tue, 8 Jul 2025 18:15:32 +0200 TEMA : Re: Eine typische Textaufgabe NUMBER: 29237 SIZE : 2397 --------------------------------------------- On 07.07.2025 22:53, joes wrote: > Am Mon, 07 Jul 2025 20:17:49 +0200 schrieb WM: >> On 07.07.2025 18:08, joes wrote: >>> Am Mon, 07 Jul 2025 17:57:10 +0200 schrieb WM: > >>>> Das ist auch nicht bahnbrechend. Wichtig und meist unbekannt ist die >>>> Tatsache, dass die Menge der bekannten Primzahlen potentiell unendlich >>>> ist und niemals aktual unendlich werden kann. >>> Es ist sehr bekannt, dass wir nur nur endlich viele Primzahlen kennen >>> (außer, wir finden eine Formel). > Die Menge der Primzahlen ist dennoch "aktual" unendlich. Ja. Die Menge der bekannten und die Menge der kennbaren aber nicht. > > Hör mal, die natürlichen Zahlen *sind* alle "bekannt", da gibt's keine > Überraschungen. Welche ist de die letzte, die bekannt wurde. > Wäre aber auch kein Hindernis; die kleinste unbekannte > Primzahl *hat* einen Index. Aber sicher. Und die zweitkleinste auch. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Tue, 8 Jul 2025 18:23:18 +0200 TEMA : Re: Eine typische Textaufgabe NUMBER: 29238 SIZE : 2458 --------------------------------------------- On 07.07.2025 22:57, joes wrote: > Am Mon, 07 Jul 2025 20:36:48 +0200 schrieb WM: >> On 07.07.2025 19:54, Ulrich D i e z wrote: >>> WM schrieb: >>> >>>> Genau. Die Menge der bekannten Primzahlen kann also nicht aktual >>>> unendlich sein, genau so wenig wie die Menge der bekannten >>>> (definierbaren) natürlichen Zahlen. >>> Was auch immer bekannt/definierbar in Bezug auf Elemente der Menge der >>> natürlichen Zahlen bedeuten soll. >> Um langwierige Erklärungen zu vermeiden: Es kann eine Dezimaldarstellung >> angegeben werden. > Fein. Muss die endlich sein? Primzahlen sind natürliche, also endliche Zahlen. >> Ohne Betrachter und deren Fähigkeiten könnte es keine Mathematik >> betrieben werden. > Mathematik existiert auch ohne Betrachter. Das ist Platonismus, aber durchaus möglich, denn der Satz des Pythagoras würde ganz sicher auch ohe Pythagoras gelten. Deswegen habe ich "betrieben werden" geschrieben, aber leider das "es" zu löschen vergessen. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 8 Jul 2025 19:45:02 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Ein_Fehler_in_=22Mathematik_f=C3=BCr_die_ersten_Sem?= =?UTF-8?Q?ester=22_von_W=2E_M=C3=BCckenheim_=28jetzt_aber!=29?= NUMBER: 29239 SIZE : 5578 --------------------------------------------- Am 07.07.2025 um 19:38 schrieb Moebius: > > Auf Seite 25 steht da: > > "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können die > natürlichen Zahlen sofort gebildet werden: > > 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." > > Die "Axiome" (4.1) und (4.2) lauten aber: > > "1 e M (4.1) > n e M => n + 1 e M (4.2)" > > Also kann da wegen "M" =/= "IN" etwas nicht stimmen. > > Angesichts der oben ausgesprochenen Behauptung würde man als "mündiger > Leser" erwarten, dass die besagten Axiome wie folgt lauten: > > "1 e IN (4.1') > n e IN => n + 1 e IN (4.2')" > > Alles andere macht (im Hinblick auf obige Behauptung) keinen Sinn. Um das hier Gesagte verstehen zu können, müsste man allerdings über ein gewisses mathematisches Minimalwissen verfügen. U. a. müsste man verstehen, was AXIOME sind und WOFÜR SIE GUT sind. Insbesondere sollte man also verstehen, welche Rolle AXIOME in BEWEISEN spielen (dazu müsste man aber auch wissen, was das ist, ein BEWEIS). Betrachten wir einmal die BEHAUPTUNG: "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1') und (4.2') allein [erhalten wir mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." In der Tat. Das AXIOM (4.1') lautet ja 1 e IN (4.1.') Es kann also den Beginn einer "Schlusskette" bilden (ohne iw. Voraussetzungen). Damit ist das THEOREM 1 e IN (1) BEWIESEN. Obige Schlusskette soll nun offenbar andeuten, dass man aus "1 e IN" auf "1 + 1 e IN" SCHLIEßEN kann (dass also "1 e IN" die Aussage "1 + 1 e IN" IMPLIZIERT). In der Tat lautet ja das AXIOM (4.2') - nach Ergänzung um die (an sich fehlende) Allquantifizierung: An(n e IN => n + 1 e IN) . Durch SPEZIALISIERUNG erhalten wir daraus speziell: 1 e IN => 1 + 1 e IN . Modus Ponens liefert daraus dann zusammen mit dem THEOREM (1): 1 + 1 e IN. Einsetzen von "2" für "1 + 1" liefert daraus das THEOREM 2 e IN (2). Durch SPEZIALISIERUNG erhalten wir aus dem AXIOM (4.2') nun speziell: 2 e IN => 2 + 1 e IN . Modus Ponens liefert daraus dann zusammen mit dem THEOREM (2): 2 + 1 e IN. Einsetzen von "3" für "2 + 1" liefert daraus das THEOREM 3 e IN (3) usw. Die Behauptung "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1') und (4.2') allein [erhalten wir mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." ist also offenbar gerechtfertigt. Im Gegensatz DAZU wäre die Behauptung "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein [erhalten wir mit 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." (wie sie sich in ähnlicher Form in Mückenheims Buch findet) Unsinn bzw. Quatsch. Hinweis: Es ist "unklar" (to say the least) worum es sich bei dem "M", das in den "Axiomen" (4.1) und (4.2) auftritt, handelt. Ist es eine Variable, ist es eine Konstante? Wäre es eine Variable, wäre die Bezeichnung "Axiome" für (4.1) und (4.2) nicht gerechtfertigt, ES SEI DENN, (4.1) und (4.2) wären als bloße Abkürzungen für die AXIOME AM(1 e M) (4.1'') AMAn(n e M => n + 1 e M) (4.2'') gedacht. (4.1'') würde allerdings BESAGEN, dass 1 Element JEDER Menge M ist. Das würde aber zweifelsohne im Widerspruch stehen mit dem Umstand, dass die Menge {} KEINE Elemente enthält. Also ist "M" eine FREIE VARIABLE? Dann sind -wie schon erwähnt- (4.1) und (4.2) KEINE Axiome (da sie dann keine Aussagen sind). usw. usf. Wir erinnern uns: > Auch der bekannte Mathematiker Franz Lemmermeyer ist schon über die auf > Seite 25 angegebenen "Axiome" gestolpert. Er schreibt dazu in seiner > Rezension des Werks "Mathematik für die ersten Semester" (2. Auflage): > > "[D]ie 'Definition' der natürlichen Zahlen durch die Axiome auf S. 25 > ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der > vollständigen Induktion verwechselt [...]."**) > > Leider scheint es so zu sein, dass Herr Mückenheim blind und taub für > derartige Hinweise auf Fehler in seinem Buch ist. (Früher nannte man so > was ja "merkbefreit".) qed . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 8 Jul 2025 19:56:09 +0200 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Ein_Fehler_in_=22Mathematik_f=C3=BCr_die_ersten_Sem?= =?UTF-8?Q?ester=22_von_W=2E_M=C3=BCckenheim_=28jetzt_aber!=29?= NUMBER: 29240 SIZE : 6243 --------------------------------------------- Am 08.07.2025 um 19:45 schrieb Moebius: > Am 07.07.2025 um 19:38 schrieb Moebius: >> >> Auf Seite 25 steht da: >> >> "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können die >> natürlichen Zahlen sofort gebildet werden: >> >> 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." >> >> Die "Axiome" (4.1) und (4.2) lauten aber: >> >> "1 e M (4.1) >> n e M => n + 1 e M (4.2)" >> >> Also kann da wegen "M" =/= "IN" etwas nicht stimmen. >> >> Angesichts der oben ausgesprochenen Behauptung würde man als "mündiger >> Leser" erwarten, dass die besagten Axiome wie folgt lauten: >> >> "1 e IN (4.1') >> n e IN => n + 1 e IN (4.2')" >> >> Alles andere macht (im Hinblick auf obige Behauptung) keinen Sinn. > > Um das hier Gesagte verstehen zu können, müsste man allerdings über ein > gewisses mathematisches Minimalwissen verfügen. U. a. müsste man > verstehen, was AXIOME sind und WOFÜR SIE GUT sind. Insbesondere sollte > man also verstehen, welche Rolle AXIOME in BEWEISEN spielen (dazu müsste > man aber auch wissen, was das ist, ein BEWEIS). Viell. hätte Herr Prof. Dr. doch ein einführendes Werk wie z. B. Alfred Tarski, Einführung in die mathematische Logik lesen sollen, bevor er sich an das Verfassen eines eigenem "Mathe-Lehrbuchs" gemacht hat. > Betrachten wir einmal die BEHAUPTUNG: > > "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1') und (4.2') allein [erhalten wir mit > 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: > > 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." > > In der Tat. Das AXIOM (4.1') lautet ja > > 1 e IN (4.1.') > > Es kann also den Beginn einer "Schlusskette" bilden (ohne iw. > Voraussetzungen). > > Damit ist das THEOREM > > 1 e IN (1) > > BEWIESEN. Obige Schlusskette soll nun offenbar andeuten, dass man aus "1 > e IN" auf "1 + 1 e IN" SCHLIEßEN kann (dass also "1 e IN" die Aussage > "1 + 1 e IN" IMPLIZIERT). > > In der Tat lautet ja das AXIOM (4.2') - nach Ergänzung um die (an sich > fehlende) Allquantifizierung: > > An(n e IN => n + 1 e IN) . > > Durch SPEZIALISIERUNG erhalten wir daraus speziell: > > 1 e IN => 1 + 1 e IN . > > Modus Ponens liefert daraus dann zusammen mit dem THEOREM (1): > > 1 + 1 e IN. > > Einsetzen von "2" für "1 + 1" liefert daraus das THEOREM > > 2 e IN (2). > > Durch SPEZIALISIERUNG erhalten wir aus dem AXIOM (4.2') nun speziell: > > 2 e IN => 2 + 1 e IN . > > Modus Ponens liefert daraus dann zusammen mit dem THEOREM (2): > > 2 + 1 e IN. > > Einsetzen von "3" für "2 + 1" liefert daraus das THEOREM > > 3 e IN (3) > > usw. > > Die Behauptung > > "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1') und (4.2') allein [erhalten wir mit > 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: > > 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." > > ist also offenbar gerechtfertigt. > > Im Gegensatz DAZU wäre die Behauptung > > "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein [erhalten wir mit > 2 := 1 + 1 und 3 := 2 + 1]: > > 1 e IN => 1 + 1 = 2 e IN => 2 + 1 = 3 e IN usw." > > (wie sie sich in ähnlicher Form in Mückenheims Buch findet) Unsinn bzw. > Quatsch. > > Hinweis: Es ist "unklar" (to say the least) worum es sich bei dem "M", > das in den "Axiomen" (4.1) und (4.2) auftritt, handelt. Ist es eine > Variable, ist es eine Konstante? Wäre es eine Variable, wäre die > Bezeichnung "Axiome" für (4.1) und (4.2) nicht gerechtfertigt, ES SEI > DENN, (4.1) und (4.2) wären als bloße Abkürzungen für die AXIOME > > AM(1 e M) (4.1'') > AMAn(n e M => n + 1 e M) (4.2'') > > gedacht. (4.1'') würde allerdings BESAGEN, dass 1 Element JEDER Menge M > ist. Das würde aber zweifelsohne im Widerspruch stehen mit dem Umstand, > dass die Menge {} KEINE Elemente enthält. > > Also ist "M" eine FREIE VARIABLE? Dann sind -wie schon erwähnt- (4.1) > und (4.2) KEINE Axiome (da sie dann keine Aussagen sind). usw. usf. > > Wir erinnern uns: > >> Auch der bekannte Mathematiker Franz Lemmermeyer ist schon über die >> auf Seite 25 angegebenen "Axiome" gestolpert. Er schreibt dazu in >> seiner Rezension des Werks "Mathematik für die ersten Semester" (2. >> Auflage): >> >> "[D]ie 'Definition' der natürlichen Zahlen durch die Axiome auf S. 25 >> ist hanebüchen; die Existenz des Nachfolgers wird mit dem Axiom der >> vollständigen Induktion verwechselt [...]."**) >> >> Leider scheint es so zu sein, dass Herr Mückenheim blind und taub für >> derartige Hinweise auf Fehler in seinem Buch ist. (Früher nannte man >> so was ja "merkbefreit".) > > qed > > . > . > . > > > ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : joes DATE : Tue, 8 Jul 2025 18:03:52 -0000 (UTC) TEMA : Re: Eine typische Textaufgabe NUMBER: 29241 SIZE : 2937 --------------------------------------------- Am Tue, 08 Jul 2025 18:23:18 +0200 schrieb WM: > On 07.07.2025 22:57, joes wrote: >> Am Mon, 07 Jul 2025 20:36:48 +0200 schrieb WM: >>> On 07.07.2025 19:54, Ulrich D i e z wrote: >>>> WM schrieb: >>>> >>>>> Genau. Die Menge der bekannten Primzahlen kann also nicht aktual >>>>> unendlich sein, genau so wenig wie die Menge der bekannten >>>>> (definierbaren) natürlichen Zahlen. >>>> Was auch immer bekannt/definierbar in Bezug auf Elemente der Menge >>>> der natürlichen Zahlen bedeuten soll. >>> Um langwierige Erklärungen zu vermeiden: Es kann eine >>> Dezimaldarstellung angegeben werden. >> Fein. Muss die endlich sein? > Primzahlen sind natürliche, also endliche Zahlen. Dann sag das doch! Nicht, dass das was einschränken würde, da alle natürlichen Zahlen eine endliche Dezimaldarstellung haben (nicht: es gibt eine endliche Ziffernfolge, die alle natürlichen Zahlen darstellt, cf. Quantorentausch). >>> Man kann eine unbegrenzt existierende KI annehmen. >> Und ein unendliches Universum? Also? >>> Ohne Betrachter und deren Fähigkeiten könnte es keine Mathematik >>> betrieben werden. >> Mathematik existiert auch ohne Betrachter. > Das ist Platonismus, aber durchaus möglich, denn der Satz des Pythagoras > würde ganz sicher auch ohe Pythagoras gelten. Deswegen habe ich > "betrieben werden" geschrieben, aber leider das "es" zu löschen > vergessen. Der Punkt war allerdings, dass meine Fähigkeiten für die Mathematik irrelevant sind. -- Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math: It is not guaranteed that n+1 exists for every n. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : joes DATE : Tue, 8 Jul 2025 18:11:38 -0000 (UTC) TEMA : Re: Einfachste Logik - Tarski NUMBER: 29242 SIZE : 3535 --------------------------------------------- Am Tue, 08 Jul 2025 18:09:44 +0200 schrieb WM: > On 07.07.2025 22:35, joes wrote: >> Am Mon, 07 Jul 2025 18:06:32 +0200 schrieb WM: >>> On 06.07.2025 21:31, joes wrote: >>>> Am Sun, 06 Jul 2025 20:32:59 +0200 schrieb WM: >>> >>>>> Die gibt es ja auch nicht. Für eine Bijektion sind Paare aus >>>>> Individuen erforderlich. Paare, die man nicht bennen kann, gehören >>>>> zu Brei, aber nicht zu Bijektion. >>>> Wie gesagt, die Primzahlen können nummeriert werden. >>> Nicht alle, sondern nur die bekannten. >> Dochdoch. Es gibt bestimmt nicht mehr als abzählbar viele Primzahlen. > Falsch. Weder die natürlichen Zahlen noch die Primzahlen sind abzählbar. Junge, die natürlichen Zahlen sind der *Inbegriff* der Abzählbarkeit, auch wenn dir das Wort nicht schmeckt. >>>>> >> Für ungelenke Denker: Die Kollektion aller bekannten Primzahlen >>>>> >> ist zu jedem Zeitpunkz potentiell unendlich. >>>>> > Nein, die Menge der bekannten Primzahlen ist endlich. >>>>> Wieso nein? Endlich, aber ohne festes Ende, also potentiell >>>>> unendlich. >>>> Weil es eine vom Zeitpunkt abhängende größte bekannte Primzahl gibt. >>>> Ist {1, 2, 3} jetzt "potenziell unendlich"? > Die ist endlich, kann aber ein Zustand der potentiell unendlichen Menge > {1, 2, 3, ...} sein. Kleines Kind, Zählversuch. Gut, die Menge der bekannten Primzahlen ist also nicht unendlich. >> Nicht? Ich möchte doch glauben, dass jede Primzahl nach einer endlichen >> Zeit gefunden werden kann. > Das ist ein leicht als solcher nachweisbarer Irrglaube, denn dann würde > die zuletzt gefundene die Unendlichkeit abschließen. Da hast du wieder die Quantoren verwechselt. Die Zeit ist natürlich für jede Primzahl eine andere, aber immer endlich. Das wirst du doch nicht bestreiten? -- Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math: It is not guaranteed that n+1 exists for every n. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : =?UTF-8?Q?Alfred_Fla=C3=9Fhaar?= DATE : Tue, 8 Jul 2025 21:03:01 +0200 TEMA : Etwas Unwichtiges... NUMBER: 29243 SIZE : 1025 --------------------------------------------- Zur Erholung von den tiefgreifenden Diskussionen der letzten Jahre möchte ich an eine hübsche Aufgabe aus der irischen Mathematikolympiade von 1990 erinnern: Es sei a_k = 2*cos(t/2^k)-1 für k=1,2,... Mit b_n werde das Produkt der a_k, k=1,2...n bezeichnet. Zu beweisen ist, daß lim (n-->oo) b_n = (2*cos(t)+1)/3 ist. Freundliche dsm-Grüße, Alfred Flaßhaar ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Wed, 9 Jul 2025 01:19:25 +0200 TEMA : Re: Etwas Unwichtiges... NUMBER: 29244 SIZE : 1926 --------------------------------------------- Am 08.07.2025 um 21:03 schrieb Alfred Flaßhaar: > Es sei a_k = 2*cos(t/2^k)-1 für k=1,2,... > Mit b_n werde das Produkt der a_k, k=1,2...n bezeichnet. > > Zu beweisen ist, daß lim (n-->oo) b_n = (2*cos(t)+1)/3 ist. gegeben: n --- a_k = 2 * cos(t / 2 ^k) - 1, b_n = | | a_k k = 1 Identität: cos( x ) = 2 * cos ^2 (x / 2) - 1 cos( x/2 ) = sqrt( (cos( x ) + 1) / 2) a_k = 2 * cos - 1 a_k = 4 * cos ^2 ( (t / (x / 2 ^(k + 1))) ) - 3 Folge bilden: a_n = cos(1/2 ^n) a_(n - 1) = cos( t / 2 ^(n - 1) ) = 2 * a_n - 1 => a ^2 _n = (a_(n - 1) + 1) / 2 => 4 * a ^2 _n - 3 = 2 * (a_(n - 1) + 1) - 3 = 2 * (a_(n - 1) - 1) hier: k_k = 2 * k_n - 1. ! damit: n --- b_n = | | * (2 * k_n - 1). k = 1 oo ---- | | * (2 * cos( t/(2 ^p)) - 1). p = 1 = ((2 * cos( t ) + 1) / 3). Mit freundlichen Grüßen Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Wed, 9 Jul 2025 01:24:58 +0200 TEMA : Re: Etwas Unwichtiges... NUMBER: 29245 SIZE : 1777 --------------------------------------------- gegeben: n --- a_k = 2 * cos(t / 2 ^k) - 1, b_n = | | a_k k = 1 Identität: cos( x ) = 2 * cos ^2 (x / 2) - 1 cos( x/2 ) = sqrt( (cos( x ) + 1) / 2) a_k = 2 * cos - 1 a_k = 4 * cos ^2 ( (t / (x / 2 ^(k + 1))) ) - 3 Folge bilden: a_n = cos(1/2 ^n) a_(n - 1) = cos( t / 2 ^(n - 1) ) = 2 * a_n - 1 => a ^2 _n = (a_(n - 1) + 1) / 2 // Bemerkung: letzter Artikel hatte markdown Fehler: => 4 * a ^2 _ n - 3 = 2 * (a_(n - 1) + 1) - 3 = 2 * (a_(n - 1) - 1) hier: k_k = 2 * k_n - 1. ! damit: n --- b_n = | | * (2 * k_n - 1). k = 1 oo ---- | | * (2 * cos( t/(2 ^p)) - 1). p = 1 = ((2 * cos( t ) + 1) / 3). Mit freundlichen Grüßen Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com