A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 28861
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 16 Feb 2025 22:52:22 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28851 SIZE : 4880 --------------------------------------------- Am 16.02.2025 um 22:23 schrieb Ralf Bader: > On 02/16/2025 09:53 PM, Moebius wrote: >> Am 16.02.2025 um 20:45 schrieb Ralf Bader: >> >>> [...] Die endlichen v. Neumannschen Ordinalzahlen entsprechen den >>> natürlichen Zahlen, aber sie sind nicht die natürlichen Zahlen. >> >> Das ist jetzt aber (in DIESEM Kontext) schon ein wenig haarspalterisch, >> Ralf. > > Nein, das ist es nicht, Wenn Du es sagst. > denn "DIESER Kontext" war der von Zermelos > Grundlagen, und da ist keine Rede über v. Neumannsche Ordinalzahlen. Das ist ja auch nur sehr schlecht möglich, da Zermelos Arbeit von 1908 ist, während (der damals 19 Jahre alte) von Neumann seine Konstruktion (als "Theorie der Ordnungszahlen") erstmals in einem Brief an Zermelo (1923) erwähnt hat. > Und Mückenheim kommt hier nur deshalb mit den endlichen v. Neumannschen > Ordinalzahlen an, weil die ja mit den dauerbeschwafelten > Anfangssegmenten übereinstimmen und somit das perfekte Werkzeug sind, um > hier zusätzliches Durcheinander zu schaffen. Dabei könnte aber genau d a s auch hilfreich sein (wenn ned Mückenheim mitreden würde). Wer zur Hölle bezieht sich denn heute noch auf Zermelos "Konstruktion" der natürlichen Zahlen von 1908? Heute üblich ist (im Kontext von ZF(C)) der von Neumannsche Ansatz. Und dann gilt in der Tat mit IN = {0, 1, 2, 3, ...} (sowie 0 := {}, 1 := {0}, 2 := {0, 1}, ...) und A(n) := {m e IN : m < n} (n e IN) für alle n e IN: A(n) = n. Also gilt mit ANF := {A(n) : n e IN}: ANF = IN. Ich persönlich finde das ... nett. Daraus folgt zwar wohl auch noch nicht "offensichtlich", dass U ANF = IN ist; aber allzuschwer ist der Beweis dafür auch nicht. Was aber Lügen gestraft wird, ist das saudumme Geschwafel von Mückenheim, dass nicht alle natürlichen Zahlen einen (endlichen) Anfangsabschnitt "besitzen". In Herbert Menschkowskis Büchlein "Hundert Jahr Mengenlehre" können wir dazu (hier leicht angepasst zitiert) lesen: "An dieser Stelle soll nur gezeigt werden, daß die durch (2) erklärten natürlichen Zahlen eine bemerkenswerte Eigenschaft haben: /Jede natürlichen Zahl x ist gleich dem durch x gegebenen "Abschnitt"/: (3) x = A_x. Der /durch x erzeugte Abschnitt/: Das ist die Menge der Elemente der Menge der natürlichen Zahlen, die vor x stehen (in der gegebenen Ordnung)." >> In Halmos können wir z. B. lesen: > > Ja, mag sein, daß man auch da was lesen kann. 100% kann man das. :-) Was man u. a. darin lesen kann, hatte ich zitiert, nämlich: "Eine /natürliche Zahl/ ist per definitionem ein Element der minimalen Nachfolgermenge omega." Ob Dir das nun gefällt oder nicht: Jedenfalls ist das kein Grund, das Zitat nach Mückenheimart wegzuschneiden. . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Sun, 16 Feb 2025 23:06:27 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28852 SIZE : 4270 --------------------------------------------- On 16.02.2025 21:21, Moebius wrote: > Am 16.02.2025 um 20:38 schrieb Moebius: > In gewissem Sinne (wenn formal auch > nicht wirklich korrekt) kann man das als eine "unendliche Konjunktion" > von Aussagen lesen/auffassen: > >     IN \ {1} =/= {} & IN \ {2} =/= {} & IN \ {3} =/= {} & ... > > Es ist KLAR, dass das mit der Folgenden Aussage/Behauptung NICHTS zu tun > hat. > >> 2.) IN \ {n : n e IN} =/= {} , >> >> nein, natürlich können nicht "alle zusammen" ("zugleich") "entfallen". Eine induktive Definition beschreibt eine unendliche Menge. Die induktive Definition der A(n), die ohne Änderung der Vereinigung zu ℕ entfallen können, zeigt, dass die Menge A aller A(n) ohne Änderung der Vereinigung entfallen kann. Denn die Menge enthält nichts, was der Induktion nicht unterliegt. Alle endlichen Mengen {A(1), A(2), ..., A(n)} können zugleich entfallen. Was sollte wohl nicht entfallen können? >> > tatsächlich ist > jede der Mengen {1, ..., n} (mit n e IN) endlich, währen IN unendlich ist). Deswegen können wir unendliche Mengen nur per Induktion definieren, aber damit geht es. > Es ist (weiterhin) KLAR, dass das mit der Aussage/Behauptung 2.) NICHTS zu tun hat. Dem trüben Blick eines fanatischen Matheologen mag das klar sein, wahr ist es trotzdem nicht: Um aber die Existenz "unendlicher" Mengen zu sichern, bedürfen wir noch des folgenden, seinem wesentlichen Inhalte von Herrn Dedekind herrührenden Axioms. ... Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, daß jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht ... Die Menge Z_0 enthält die Elemente 0, {0}, {{0}}, usw. und möge als "Zahlenreihe" bezeichnet werden, ... Sie bildet das einfachste Beispiel einer "abzählbar unendlichen" Menge. [E. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Mathematische Annalen (1908), S. 266] Unbegreiflich für Dich? Trotzdem die einzige verlässliche Methode, unendliche Mengen induktiv zu konstruieren. JEDE induktive Definition erzeugt eine unendliche Menge, zu der nur Elemente mit der bewiesenen Eigenschaft gehören. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Sun, 16 Feb 2025 23:13:32 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28853 SIZE : 2715 --------------------------------------------- On 16.02.2025 22:52, Moebius wrote: > Was aber Lügen gestraft wird, ist ---, dass nicht alle natürlichen Zahlen einen (endlichen) > Anfangsabschnitt "besitzen". Beweise findest Du nicht überzeugend? Aber mein Beweis gilt ja auch nur für die aktual unendlich Menge ℕ. Die tatsächlich von Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo, v. Neumann, Lorenzen konstruierten unendlichen Mengen ℕ_def sind potentiell unendlich, und darin besitzt jede natürliche Zahle einen endlichen Anfangsabschnitt. > > Der /durch x erzeugte Abschnitt/: Das ist die Menge der Elemente der > Menge der natürlichen Zahlen, die vor x stehen (in der gegebenen Ordnung)." Richtig! Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 16 Feb 2025 23:15:06 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28854 SIZE : 3196 --------------------------------------------- Am 16.02.2025 um 22:44 schrieb WM: > On 16.02.2025 20:45, Ralf Bader wrote: >> Die endlichen v. Neumannschen Ordinalzahlen entsprechen den >> natürlichen Zahlen, aber sie sind nicht die natürlichen Zahlen. > > Doch sie sind es. Korrekter: WENN man sie so DEFINIERT, DANN sind sie es. Und heutzutage definiert man die natürlichen Zahlen (im Kontext von ZF(C)) üblicherweise so. In Halmos Klassiker zur Mengenlehre können wir z. B. lesen: "Eine /natürliche Zahl/ ist per definitionem ein Element der minimalen Nachfolgermenge omega." Ja, das steht so da, auch wenn es einem RB offenbar nicht gefällt. > 4 := {0, 1, 2, 3} bzw. allgemeiner: 0 := {} und n + 1 := n u {n}. >> Momentan ging es außerdem um die Zermeloschen Grundlagen, und das ist >> ein Kontext, in dem es keine v. Neumannschen Ordinalzahlen (also den >> Begriff) gibt. In der Tat. Tatsächlich kann einem die genau Definition der natürlichen Zahlen bzw. der Menge IN egal sein, solange nur die Peano-Axiome für IN gelten. (Vgl. dazu das Buch "Grundlagen der Analysis" von E. Landau.) . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 16 Feb 2025 23:19:50 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28855 SIZE : 2351 --------------------------------------------- Am 16.02.2025 um 23:13 schrieb WM: > Aber mein Beweis gilt ja auch nur für die aktual unendlich Menge ℕ. Die > tatsächlich von Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo, v. Neumann, [...] > [definierten] unendlichen Mengen ℕ sind potentiell unendlich, und Zeit, Dich einweisen zu lassen, Mückenheim. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : joes DATE : Sun, 16 Feb 2025 22:36:16 -0000 (UTC) TEMA : Re: Induktion // TH7 Definition =?iso-8859-1?Q?'n=F6tig'?= NUMBER: 28856 SIZE : 3278 --------------------------------------------- Am Sun, 16 Feb 2025 22:44:43 +0100 schrieb WM: > On 16.02.2025 20:45, Ralf Bader wrote: >> On 02/16/2025 01:48 PM, WM wrote: > >>> Nach v. Neumann ist A(2) eine endliche Kardinalzahl. >> Die endlichen v. >> Neumannschen Ordinalzahlen entsprechen den natürlichen Zahlen, aber sie >> sind nicht die natürlichen Zahlen. > > Doch sie sind es. Man kann sie miteinander identifizieren, was hier aber wegen der Verwechslungsgefahr mit den Anfangsabschnitten verwirrend ist. >> Momentan ging es außerdem um die Zermeloschen Grundlagen, und das ist >> ein Kontext, in dem es keine v. Neumannschen Ordinalzahlen (also den >> Begriff) gibt. > In beiden Fällen, seien die Zahlen nach Zermelo oder v. Neumann > definiert, ist die induktive Definition die bestimmende Eigenschaft > einer abzählbar unendlichen Menge. Und diese Definition ist natürlich > auch durch Deine Aussage gesichert, dass jede endliche Menge dazugehört. > Denn wenn der endliche Anfangsabschnitt A(n) dazugehört, dann gehört > auch A(n+1) dazu. > Und es gibt keinen einzigen Anfangsabschnitt, der nicht dazu gehört. Ich bin erstaunt, dass du es für erwähnenswert hältst, dass die Elemente einer Menge Elemente dieser Menge sind. -- Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math: It is not guaranteed that n+1 exists for every n. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : joes DATE : Sun, 16 Feb 2025 22:52:22 -0000 (UTC) TEMA : Re: Induktion // TH7 Definition =?iso-8859-1?Q?'n=F6tig'?= NUMBER: 28857 SIZE : 4302 --------------------------------------------- Am Sun, 16 Feb 2025 23:06:27 +0100 schrieb WM: > On 16.02.2025 21:21, Moebius wrote: >> Am 16.02.2025 um 20:38 schrieb Moebius: >> In gewissem Sinne (wenn formal auch nicht wirklich korrekt) kann man >> das als eine "unendliche Konjunktion" >> von Aussagen lesen/auffassen: >>     IN \ {1} =/= {} & IN \ {2} =/= {} & IN \ {3} =/= {} & ... >> Es ist KLAR, dass das mit der Folgenden Aussage/Behauptung NICHTS zu >> tun hat. >> >>> 2.) IN \ {n : n e IN} =/= {} , >>> nein, natürlich können nicht "alle zusammen" ("zugleich") "entfallen". > > Eine induktive Definition beschreibt eine unendliche Menge. …deren jedes Element *für sich* entfallen kann. Keine Rede von irgendwelchen Teilmengen davon, insbesondere nicht der ganzen Menge. Für endliche Anfangsabschnitte dieser Menge von Anfangsabschnitten(!) kann man das mittels Induktion beweisen, aber nicht für die ganze Menge, weil diese weder endlich noch ein Anfangsabschnitt ihrer selbst darstellt. > Die induktive Definition der A(n), die ohne Änderung der Vereinigung zu > ℕ entfallen können, zeigt, dass die Menge A aller A(n) ohne Änderung der > Vereinigung entfallen kann. Das tut sie durchaus nicht, denn die Vereinigung aller AA ist bestimmt nicht leer, wie es die Vereinigung aller Elemente der leeren Menge ist. Die Menge der Mengen von AA, die man *gemeinsam/auf einmal/ gleichzeitig* weglassen kann, enthält nur endliche Mengen von AA (wenn man nur von Anfang, also A(0), Aufeinanderfolgende betrachtet), für jede natürliche Zahl eine. Das ergibt unendlich viele Möglichkeiten, aber die Menge aller AA ist keine davon. > Denn die Menge enthält nichts, was der Induktion nicht unterliegt. Die Menge selbst unterliegt nicht der Induktion. > Alle endlichen Mengen {A(1), A(2), ..., A(n)} können zugleich entfallen. Nein, können sie nicht. Außer von dir wird auch nicht behauptet, dass sich die leere Menge zu etwas anderem als der leeren Menge vereinigt > Was sollte wohl nicht entfallen können? Falsche Frage. Es geht um eine hinreichende Menge, nicht eine notwendige. > JEDE induktive Definition erzeugt eine unendliche Menge, zu der nur > Elemente mit der bewiesenen Eigenschaft gehören. Richtig. Die Menge hat nicht diese Eigenschaft. -- Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math: It is not guaranteed that n+1 exists for every n. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : joes DATE : Sun, 16 Feb 2025 23:03:54 -0000 (UTC) TEMA : Re: Induktion // TH7 Definition =?iso-8859-1?Q?'n=F6tig'?= NUMBER: 28858 SIZE : 3512 --------------------------------------------- Am Sun, 16 Feb 2025 23:13:32 +0100 schrieb WM: > On 16.02.2025 22:52, Moebius wrote: > >> Was aber Lügen gestraft wird, ist ---, dass nicht alle natürlichen >> Zahlen einen (endlichen) Anfangsabschnitt "besitzen". > Beweise findest Du nicht überzeugend? Falsche nicht. > Aber mein Beweis gilt ja auch nur für die aktual unendlich Menge ℕ. Die > tatsächlich von Dedekind, Peano, Schmidt, Zermelo, v. Neumann, Lorenzen > konstruierten unendlichen Mengen ℕ_def sind potentiell unendlich, und > darin besitzt jede natürliche Zahle einen endlichen Anfangsabschnitt. Genau deswegen bin ich der Meinung, dass du falsche Bezeichnungen benutzt: was du N nennst, enthält unendlich große Zahlen, die wir nicht dazuzählen. Das wäre auch egal, wenn du es als eine Erweiterung der natürlichen Zahlen behandeln würdest. Du tust aber so, als ob wir über diese Zahlen mit unendlichen Anfangsabschnitten (also eigentlich der Form ω+k) Aussagen treffen würden. >> "An dieser Stelle soll nur gezeigt werden, daß die durch (2) erklärten >> natürlichen Zahlen eine bemerkenswerte Eigenschaft haben: /Jede >> natürlichen Zahl x ist gleich dem durch x gegebenen "Abschnitt"/: >> (3) x = A_x. >> Der /durch x erzeugte Abschnitt/: Das ist die Menge der Elemente der >> Menge der natürlichen Zahlen, die vor x stehen (in der gegebenen >> Ordnung)." > Richtig! So, und die Menge unendlich vieler aufeinanderfolgender endlicher Zahlen ist N, was wir mit ω identifizieren können. -- Am Sat, 20 Jul 2024 12:35:31 +0000 schrieb WM in sci.math: It is not guaranteed that n+1 exists for every n. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 17 Feb 2025 00:10:53 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28859 SIZE : 2614 --------------------------------------------- Am 16.02.2025 um 23:52 schrieb joes: > Am Sun, 16 Feb 2025 23:06:27 +0100 schrieb WM: >> Alle endlichen Mengen {A(1), A(2), ..., A(n)} [mit n e IN] können [...] entfallen. Richtig. Durch den Mückenschluss wird daraus dann "Die Menge {A(1), A(2), A(3), ...} kann entfallen." >> Was sollte wohl nicht entfallen können? Die Menge {A(1), A(2), A(3), ...} kann nicht entfallen. Denn {A(1), A(2), A(3), ...} \ {A(1), A(2), A(3), ...} = {}. (Außer in Mückenheims Wahnsystem natürlich.) . . . ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 17 Feb 2025 01:07:59 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Induktion_//_TH7_Definition_=27n=C3=B6tig=27?= NUMBER: 28860 SIZE : 2778 --------------------------------------------- Am 16.02.2025 um 22:52 schrieb Moebius: > Am 16.02.2025 um 22:23 schrieb Ralf Bader: >> [In] Zermelos Grundlagen, [...] ist keine Rede über v. Neumannsche Ordinalzahlen. >> > Das ist ja auch nur sehr schlecht möglich, da Zermelos Arbeit von 1908 > ist, während (der damals 19 Jahre alte) von Neumann seine Konstruktion > (als "Theorie der Ordnungszahlen") erstmals _in einem Brief an Zermelo_ > (1923) erwähnt hat. Abgedruckt in Herbert Meschkowskis Büchlein "Hundert Jahr Mengenlehre". Btw. ein Buch von dem Herr Prof. Dr. Mückenheim meint, dass dessen Lektüre unnötig ist. Die einzige "Lektüre", die wirklich nicht nötig ist, ist die des saudummen Geschwafels von Mückenheim. . . .