connected.
num: 29435
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Stefan Ram
DATE : 27 Jan 2026 13:13:05 GMT
TEMA : Re: Umformung einer Summe
NUMBER: 29425
SIZE : 5063
---------------------------------------------
ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>>(Ich beabsichtige, später zu erklären, warum ich das hier frage.)
>Das beabsichtige ich weiterhin.
Ich las von dieser Umformung in "Quantum Mechanics" (2023) von
Larkoski. Ich hole hier zunächst etwas aus. Wer weniger Zeit
zum Lesen hat, kann gleich zu dem mit "Dann kommt es endlich
zu der Stelle" beginnenden Absatz springen.
Einige Bücher neigen zu einem Eigenlob im Klappentext oder
der Einleitung ("blurb copy", "endorsement blurbs", "blurb
optimization"), das dann sogar oft von Rezensoren bequem
übernommen wird, die das Buch nicht wirklich lesen wollen.
Bei den vielen Quantenmechanikbüchern fühlt sich mancher
Autor dazu veranlaßt, eine Erklärung abzugeben, warum sein
Buch etwas Besonderes ist ("unique selling proposition",
"differentiation strategy"). Larkoski geht diesen Weg und
betont, daß sein Buch etwas Besonderes sei, weil es die lineare
Algebra betont und die Schrödingergleichung später bringt.
|Instead of starting with the Schrödinger equation as an axiom
|or describing a two-state system with a state vector, I go
|back to linear algebra
Dabei betont er die Linearität des Ableitungsoperators und
den Zusammenhang mit der Taylor-Entwicklung.
|In particular, the linear derivative operator is used
|as a concrete and familiar example of a linear operator,
|and consequences of its linearity - like the Taylor expansion
|as exponentiation of it - gently introduce students to the
|power and breadth of linear algebra.
Er kündigt diesen Zusammenhang in der Einleitung sogar wiederholt an.
|Linearity is the simplest action that a system can exhibit,
|and, among other things, leads to the Taylor expansion for
|approximating a function through a series of its derivatives.
Dann kommt es endlich zu der Stelle, wo angeblich von der Linearität
Gebrauch gemacht wird (Formeln hier näherungsweise mit Reintext
dargestellt, eine ASCII-Version habe ich schon im OP gepostet).
|However, let’s re-write this Taylor expansion in the compact form
|f (x0+Δx) = Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n f / dx^n |x=x0. (2.2)
|Further, because the derivative is a linear operator, we can write
|f (x0+Δx) =( Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n/dx^n ) f(x) |x=x0. (2.3)
. Und ausgerechnet dort wird von der Linearität von "d/dx"
gar kein Gebrauch gemacht, denn, wie ich in meinem vorigen
Posting ausgeführt habe, wird die Linearität von "d/dx" für
die Umformung nicht verwendet, trotz der Behauptung "because
the derivative is a linear operator".
Natürlich ist die Ableitung ein linearer Operator, das will
ich nicht bestreiten, aber davon wird bei der obigen Umformung
kein Gebrauch gemacht, soweit ich das verstehe.
Das Buch scheitert also gleich beim ersten Versuch, seine
Ankündigung umzusetzen, wenn ich nichts übersehen habe.
(Der Untertitel des Buches lautet "A Mathematical Introduction",
aber das Buch enthält auch nicht mehr oder weniger Mathematik als
anderen Quantenmechanikbücher.)
Bücher, die gleich am Anfang etwas Abschreckendes haben. Ein anderes
Buch, in das ich einen Blick warf, kommt für mich im Grunde nicht
in Frage, weil es zu anspruchsvoll ist, aber dort steht gleich am
Anfang:
|divE = 0
ohne Leerzeichen nach dem "div"! Danach folgt einmal "curlB = 0"
und dann "curl B = 0". Einmal ohne Leerzeichen und dann mit. Man
kann nicht anders als sich über Autor und Lektorat zu wundern,
wenn man so etwas liest, besonders wenn es beim (einst?) angesehenen
Springer-Verlag erscheint . . .
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Tue, 27 Jan 2026 17:19:16 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29426
SIZE : 8036
---------------------------------------------
Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> WM wrote:
>> Cantor schreibt:
>>
>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>
> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben?
Cantor schrieb es in Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelles
Journal f. Mathematik Bd. 84, S. 242 - 258 (1878), § 8. Am leichtesten
findest Du es online in E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte
Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer,
Berlin (1932) p. 132.
>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>> 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
>> 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1,
>
> Hast *Du* das geschrieben, oder soll Cantor das geschrieben haben?
Das habe ich geschrieben. Cantor gibt an dieser Stelle die Brüche nicht an.
>
> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
Die positiven ganzen Zahlen sind die λ: 1, 2, 3, ..., die sich aus den
Zählern und Nennern der Brüche μ/ν ergeben, welche sie indizieren.
>
> Mit meinem ECMAScript-Programm
>
> for (var μ = 1; μ < 4; ++μ) {
> for (var ν = 1; ν < 4; ++ν) {
> console.log(μ + (μ + ν - 1) * (μ + ν - 2)/2);
> }
> }
>
> was, wie ich meine, den beschriebenen Algorithmus implementiert, erhalte ich
> stattdessen die Ausgabe
>
> 1
> 2
> 4
> 3
> 5
> 8
> 6
> 9
> 13
>
> wobei keine Zahl mehrfach ausgegeben wird.
>
> Auch wenn ich zu Fuss rechne, erhalte ich nicht die von Dir angegebene
> Zahlenfolge, sondern die von mir oben angegebene:
>
> --+---+------------------------------------------------------------
> μ | ν | μ + (μ + ν - 1) * (μ + ν - 2)}/2
> --+---+------------------------------------------------------------
> 1 | 1 | 1 + (1 + 1 - 1) * (1 + 1 - 2)/2 = 1 + 0/2 = 1
> 1 | 2 | 1 + (1 + 2 - 1) * (1 + 2 - 2)/2 = 1 + 2 * 1/2 = 1 + 1 = 2
> 1 | 3 | 1 + (1 + 3 - 1) * (1 + 3 - 2)/2 = 1 + 3 * 2/2 = 1 + 3 = 4
> 2 | 1 | 2 + (2 + 1 - 1) * (2 + 1 - 2)/2 = 1 + 2 * 2/2 = 1 + 2 = 3
Richtig gerechnet, aber setze 11, 12, 21 und nicht 13, denn in der Folge
kommt 2/1 vor 1/3.
> 2 | 2 | 2 + (2 + 2 - 1) * (2 + 2 - 2)/2 = 2 + 3 * 2/2 = 2 + 3 = 5
> 2 | 3 | 2 + (2 + 3 - 1) * (2 + 3 - 2)/2 = 2 + 4 * 3/2 = 2 + 6 = 8
> 3 | 1 | 3 + (3 + 1 - 1) * (3 + 1 - 2)/2 = 3 + 3 * 2/2 = 3 + 3 = 6
> 3 | 2 | 3 + (3 + 2 - 1) * (3 + 2 - 2)/2 = 3 + 4 * 3/2 = 3 + 6 = 9
> 3 | 3 | 3 + (3 + 3 - 1) * (3 + 3 - 2)/2 = 3 + 5 * 4/2 = 3 + 10 = 13
> --+---+------------------------------------------------------------
>
> Anscheinend ist also die zitierte Behauptung, von wem auch immer sie stammt,
> wahr.
>
> Diesbezüglich sonst richtig ist nur: *Wenn* man μ und ν jeweils als Zähler
> und Nenner *interpretiert* und μ und ν passend inkrementiert, *dann* ergibt
> sich die von Dir angegebene Zahlenfolge. Aber nirgendwo steht, dass man das
> tun soll.
Da musst Du den Brief vom 16. Nov. 1883 von Cantor an Lipschitz
konsultieren. Er zählt dort die ganze Folge der Brüche von 1/1 bis 9/1
auf. Aber, dort gibt er die Dubletten wie 2/2 *nicht* an. Er schreibt dort:
"Bezeichnet man die Glieder jener Reihe mit
F(1), F(2), F(3), ..., F(ν), ...
so daß: F(1) = 1; F(2) = 1/2 ; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3 ; F(5) = 3/1; u.s.w."
Nun frage ich den sicher mitlesenden Supertask-Fritsche: Wie hat er die
Dubletten denn entfernt? Etwa per Hand in einer Supertask? Denn seine
Formel gibt ja alle Brüche wieder. Also gibt es die Folge gar nicht???
>
> Als ich ChatGPT nach dem von Dir angegebenen Text gefragt habe, hat es so
> wie Du behauptet, Cantor habe ihn geschrieben, und dass er in seinem Artikel
> "Über eine Eigenschaft des Inbegriffs alle reellen algebraischen Zahlen" von
> 1874 stehen würde.
Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen
Zahlen. Crelles Journal f. Math. 77, 258f.
>
> Ich habe dann aber den referenzierten Originalartikel unter
>
>
>
> gelesen und erstaunt festgestellt, dass der Text darin nicht vorkommt, auch
> nicht in einer Beschreibung in Worten.
Das ist sein erster Artikel, den Kronecker zurückweisen wollte. Dort
bereichtet Cantor über die Abzählung aller algebraischen Zahlen, die er
unabhängig von Dedekind gefunden haben will. Schon wieder eine Supertask
für die Sammlung von Supertask-Fritsche!
Nachdem ich ChatGPT das mitgeteilt
> hatte, hat es zugegeben/behauptet:
>
> | Die Formel
> |
> | μ + (μ + ν − 1) (μ + ν − 2)/2,
> |
> | die du zitiert hast, ist keine direkte Originalformulierung in einem der
> | bekannten frühen Werke Cantors aus 1874 oder 1873, sondern erscheint in
> | historischer Sekundärliteratur als rekonstruiertes Beispiel einer
> | Bijektion zwischen ℕ² und ℕ, die Cantor für seine Argumente über
> | Abzählbarkeit nutzte.
Da siehst Du, was für eine Niete ChatGPT in mathematischem Zusammenhang ist.
> Der oft genannte Name dieser Funktion in der
> | modernen Literatur ist die Cantor-Pairing-Funktion — ein Quadrat-Polynom,
> | das jedes Paar (μ, ν) eindeutig auf eine natürliche Zahl abbildet.
>
> Beachte, dass dort NICHT steht, dass μ der Zähler und ν der Nenner desselben
> Bruchs sein sollen. Ebenso steht dort NICHT "Bijektion zwischen ℚ und ℕ".
>
> Wahrscheinlich hast Du also etwas falsch verstanden. Insgesamt erscheint
> mir Deine Quellenrecherche mangelhaft und Dein Argument irrig.
>
Ich hoffe,, dass Du Dich demnächt entschuldiegn wirst. Ich habe alles
gelesen, was von Cantors Schriften noch zugänglich ist, und das hier
diskutierte auch verstanden.
Gruß, WM
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Tue, 27 Jan 2026 19:37:24 +0100
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen_//_TH?= =?UTF-8?Q?03_Augsburger_Logik?=
NUMBER: 29427
SIZE : 5315
---------------------------------------------
Am 26.01.2026 um 23:11 schrieb Moebius:
> Am 23.01.2026 um 23:16 schrieb Moebius:
>> Am 23.01.2026 um 18:50 schrieb WM:
>
>>> Dedekind rechtfertigte seinen Gebrauch der einelementigen Menge und
>>> verwendete die leeren Menge nicht.
>>>
>> Das ist richtig. Leider aber hat Dedekind die "einelementige Menge"
>> mit ihrem Element "identifiziert" (oder andersrum) - das führte zu
>> einigen "formalen Problemen" in seiner Schrift. (Heute weiß man, dass
>> man das nicht tun darf.)
>>
> Naja, soll heißen: "man", abgesehen von Mückenheim, natürlich.
>
> In Dedekinds Nachlass findet sich eine Notiz in der Dedekind vor dieser
> Gleichsetzung (in seiner Schrift "Was sind und was sollen die Zahlen?")
> warnt.
>
> Aus heutiger Sicht eine Trivialität. Es sei c = {a, b}, wo a =/= b ist.
> Wäre nun {c} = c = {a, b}, dann wäre (->Extensionalität) a = c = b. Also
> a = b. Widerspruch! Das mag unseren Mückenheim nicht beunruhigen, weil
> er ja im Rahmen seiner Mückenmatik mit Widersprüchen auf Du und Du
> steht, aber Mathematiker beunruhigt so etwas.
>
> Du, Mückenheim, scheinst einfach zu doof und zu blöde zu sein, um den
> Unterschied zwischen Mengenlehre und Mereologie zu verstehen.
>
> "Entwickelt wurde die moderne Mereologie im Kontext der Debatte um die
> Grundlegung der Mathematik. Dabei stellt sie auch einen alternativen
> Ansatz zur heute weitgehend akzeptierten Mengenlehre dar."
>
> https://de.wikipedia.org/wiki/Mereologie
Im Kontext der MODERNEN MENGENLEHRE drängt sich die leere Menge/Klasse
geradezu auf. (Hinweis: Zu Dedekinds Zeiten steckte die Mengenehre noch
in ihren Kinderschuhen. Jedoch war das z. B. für Frege schon eine
Selbstverständlichkeit.)
Das wird sofort klar, wenn man das sog. Church-Schema betrachtet:
y e {x | Phi[x]} <-> Phi[y] .
Wenn hier Phi[y] z. B. "y =/= y" ist, dann erhält man:
~Ey(y e {x | x =/= x}).
Mit anderen Worten:
{x | x =/= x}
ist die leere Menge. (Natürlich darf man hier für Phi nicht alles
zulassen, weil man dann sofort wieder die Russellsche Antinomie erhält;
aber wenn Phi "stratifiziert" ist, so wie in Quines Mengenlehre NF, gibt
es offenbar keine Probleme.)
Es gibt auch eine Reihe PRAKTISCHER Vorteile.*) So kann man z. B. in
ZF(C) für jede Menge A und jedes Phi die Menge
{x e A | Phi[x]}
definieren; selbst wenn man nicht weiß, ob es ein x mit Phi[x] gibt. Es
gibt also immer eine "Lösungsmenge" L, wenn wir z. B. die Nullstellen
einer bestimmten (auf IR definierten) Funktion f betrachten: L = {x e
IR: f(x) = 0}, etc.
Auch gerne gebrachtes Beispiel: Zu zwei Mengen A und B gibt es immer
eine Schnittmenge; selbst dann, wenn die beiden Mengen disjunkt sind.
Man muss also nicht immer erst prüfen, ob usw. usf.
Ohne die leere Menge wäre der Ausdruck "A n B" in "vielen" Fällen
unsinnig (nicht definiert), denn welche Menge sollte der Ausdruck
bezeichnen?
Von der Klassenalgebra ganz zu schweigen ...
--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Tue, 27 Jan 2026 20:17:14 +0100
TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen_//_TH?= =?UTF-8?Q?03_Augsburger_Logik?=
NUMBER: 29428
SIZE : 2509
---------------------------------------------
Am 27.01.2026 um 19:37 schrieb Moebius:
> Ohne die leere Menge wäre der Ausdruck "A n B" in "vielen" Fällen
> unsinnig (nicht definiert), denn welche Menge sollte der Ausdruck
> bezeichnen?
Er bezeichnet in vielen Fällen nichts.
Aber das ist irrelevant, denn die Mengenlehre ist abgrundtief falsch und
wird nur noch von Spinnern akzeptiert, die von Supertsks schwafeln, aber
nicht erkennen, dass Cantors Abzählung der rationalen Zahlen ebenso wie
die der algebraischen Zahlen eine Supertask ist.
Gruß, WM
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Thomas 'PointedEars' Lahn
DATE : Tue, 27 Jan 2026 21:12:50 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29429
SIZE : 9509
---------------------------------------------
wm wrote:
> Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>> WM wrote:
>>> Cantor schreibt:
>>>
>>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>>
>> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben?
>
> Cantor schrieb es in Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelles
> Journal f. Mathematik Bd. 84, S. 242 - 258 (1878), § 8. Am leichtesten
> findest Du es online in E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte
> Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer,
> Berlin (1932) p. 132.
Das ist richtig, wie man hier frei nachlesen kann:
[Mit dem (Studenten-)Login und auch über das VPN meiner Universität war
leider kein Zugriff auf die bei Springer verfügbare Version möglich.
Also habe ich nach dem Titel gegoogelt.]
>>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>>> 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
>>> 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1,
>>
>> Hast *Du* das geschrieben, oder soll Cantor das geschrieben haben?
>
> Das habe ich geschrieben. Cantor gibt an dieser Stelle die Brüche nicht an.
Weil er dort gar nicht die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen diskutiert,
sondern etwas anderes; anscheinend "die Bijektion zwischen ℕ² und ℕ", wie
schliesslich von ChatGPT behauptet.
>> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
>> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
>
> Die positiven ganzen Zahlen sind die λ: 1, 2, 3, ..., die sich aus den
> Zählern und Nennern der Brüche μ/ν ergeben, welche sie indizieren.
Das ist lediglich *Deine* *Interpretation*.
>> Mit meinem ECMAScript-Programm
>>
>> for (var μ = 1; μ < 4; ++μ) {
>> for (var ν = 1; ν < 4; ++ν) {
>> console.log(μ + (μ + ν - 1) * (μ + ν - 2)/2);
>> }
>> }
>>
>> was, wie ich meine, den beschriebenen Algorithmus implementiert, erhalte ich
>> stattdessen die Ausgabe
>>
>> 1
>> 2
>> 4
>> 3
>> 5
>> 8
>> 6
>> 9
>> 13
>>
>> wobei keine Zahl mehrfach ausgegeben wird.
>> [...]
>
> Richtig gerechnet, aber setze 11, 12, 21 und nicht 13, denn in der Folge
> kommt 2/1 vor 1/3.
"Die Folge" ist Obigem zufolge lediglich Deine Erfindung; wohingegen ich
implementiert habe, was Cantor tatsächlich schrieb. Man kann über die
Reihenfolge der Iteration diskutieren, aber nicht über das Ergebnis.
>> 2 | 2 | 2 + (2 + 2 - 1) * (2 + 2 - 2)/2 = 2 + 3 * 2/2 = 2 + 3 = 5
>> 2 | 3 | 2 + (2 + 3 - 1) * (2 + 3 - 2)/2 = 2 + 4 * 3/2 = 2 + 6 = 8
>> 3 | 1 | 3 + (3 + 1 - 1) * (3 + 1 - 2)/2 = 3 + 3 * 2/2 = 3 + 3 = 6
>> 3 | 2 | 3 + (3 + 2 - 1) * (3 + 2 - 2)/2 = 3 + 4 * 3/2 = 3 + 6 = 9
>> 3 | 3 | 3 + (3 + 3 - 1) * (3 + 3 - 2)/2 = 3 + 5 * 4/2 = 3 + 10 = 13
>> --+---+------------------------------------------------------------
>>
>> Anscheinend ist also die zitierte Behauptung, von wem auch immer sie stammt,
>> wahr.
>>
>> Diesbezüglich sonst richtig ist nur: *Wenn* man μ und ν jeweils als Zähler
>> und Nenner *interpretiert* und μ und ν passend inkrementiert, *dann* ergibt
>> sich die von Dir angegebene Zahlenfolge. Aber nirgendwo steht, dass man das
>> tun soll.
>
> Da musst Du den Brief vom 16. Nov. 1883 von Cantor an Lipschitz
> konsultieren. Er zählt dort die ganze Folge der Brüche von 1/1 bis 9/1
> auf.
Das ist bis zum Beweis dessen lediglich Deine Interpretation.
> Aber, dort gibt er die Dubletten wie 2/2 *nicht* an. Er schreibt dort:
>
> "Bezeichnet man die Glieder jener Reihe mit
> F(1), F(2), F(3), ..., F(ν), ...
> so daß: F(1) = 1; F(2) = 1/2 ; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3 ; F(5) = 3/1; u.s.w."
Angenommen, Cantor schrieb dies in Bezug auf die Abzählbarkeit der
rationalen Zahlen (was ich nicht überprüfen kann, da ich den Brief nicht
lesen kann). Dann ist aber offensichtlich, dass dort, im Unterschied zu
Deiner Zahlenfolge, NICHT "F(5) = 2/2" steht. Deine Zahlenfolge hat also
mit der Cantors nichts zu tun.
> Nun frage ich den sicher mitlesenden Supertask-Fritsche: Wie hat er die
> Dubletten denn entfernt? Etwa per Hand in einer Supertask? Denn seine
> Formel gibt ja alle Brüche wieder.
Das ist lediglich Deine Interpretation.
> Also gibt es die Folge gar nicht???
Genau, das ist anscheinend lediglich Deine (falsche) Interpretation.
>> Als ich ChatGPT nach dem von Dir angegebenen Text gefragt habe, hat es so
>> wie Du behauptet, Cantor habe ihn geschrieben, und dass er in seinem Artikel
>> "Über eine Eigenschaft des Inbegriffs alle reellen algebraischen Zahlen" von
>> 1874 stehen würde.
>
> Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen
> Zahlen. Crelles Journal f. Math. 77, 258f.
Ja, genau das steht dort NICHT. Diese Behauptung von ChatGPT ist *falsch*.
>> Ich habe dann aber den referenzierten Originalartikel unter
>>
>>
>>
>> gelesen und erstaunt festgestellt, dass der Text darin nicht vorkommt, auch
>> nicht in einer Beschreibung in Worten.
>
> Das ist sein erster Artikel, den Kronecker zurückweisen wollte. Dort
> bereichtet Cantor über die Abzählung aller algebraischen Zahlen,
Das mag sein; aber entscheidend ist, das die erste Behauptung von ChatGPT
falsch ist.
>> Nachdem ich ChatGPT das mitgeteilt hatte, hat es zugegeben/behauptet:
>>
>> | Die Formel
>> |
>> | μ + (μ + ν − 1) (μ + ν − 2)/2,
>> |
>> | die du zitiert hast, ist keine direkte Originalformulierung in einem der
>> | bekannten frühen Werke Cantors aus 1874 oder 1873, sondern erscheint in
>> | historischer Sekundärliteratur als rekonstruiertes Beispiel einer
>> | Bijektion zwischen ℕ² und ℕ, die Cantor für seine Argumente über
>> | Abzählbarkeit nutzte.
>
> Da siehst Du, was für eine Niete ChatGPT in mathematischem Zusammenhang ist.
Ausser dass diese Formel nicht (nur) in der Sekundärliteratur erscheint,
sondern (auch) bei Cantor selbst, ist diese neue Behauptung jedoch
anscheinend richtig; siehe oben.
>> Der oft genannte Name dieser Funktion in der
>> | modernen Literatur ist die Cantor-Pairing-Funktion — ein Quadrat-Polynom,
>> | das jedes Paar (μ, ν) eindeutig auf eine natürliche Zahl abbildet.
>>
>> Beachte, dass dort NICHT steht, dass μ der Zähler und ν der Nenner desselben
>> Bruchs sein sollen. Ebenso steht dort NICHT "Bijektion zwischen ℚ und ℕ".
>>
>> Wahrscheinlich hast Du also etwas falsch verstanden. Insgesamt erscheint
>> mir Deine Quellenrecherche mangelhaft und Dein Argument irrig.
>
> Ich hoffe,, dass Du Dich demnächt entschuldiegn wirst.
Ich sehe keinen Grund dafür, mich für die Äusserung eines Eindrucks zu
entschuldigen.
> Ich habe alles gelesen, was von Cantors Schriften noch zugänglich ist,
Das mag sein, aber ...
> und das hier diskutierte auch verstanden.
... ich bezweifle angesichts Obigem, dass Du es *richtig* verstanden hast.
--
PointedEars
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : WM
DATE : Tue, 27 Jan 2026 22:23:11 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29430
SIZE : 6690
---------------------------------------------
Am 27.01.2026 um 21:12 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> wm wrote:
>> Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>> WM wrote:
>>>> Cantor schreibt:
>>>>
>>>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>>>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>>>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>>>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>>>
>>> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben?
>>
>> Cantor schrieb es in Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelles
>> Journal f. Mathematik Bd. 84, S. 242 - 258 (1878), § 8. Am leichtesten
>> findest Du es online in E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte
>> Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer,
>> Berlin (1932) p. 132.
>
> Das ist richtig, wie man hier frei nachlesen kann:
>
>
>
> [Mit dem (Studenten-)Login und auch über das VPN meiner Universität war
> leider kein Zugriff auf die bei Springer verfügbare Version möglich.
> Also habe ich nach dem Titel gegoogelt.]
>
>>>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>>>> 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
>>>> 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1,
>>>
>>> Hast *Du* das geschrieben, oder soll Cantor das geschrieben haben?
>>
>> Das habe ich geschrieben. Cantor gibt an dieser Stelle die Brüche nicht an.
>
> Weil er dort gar nicht die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen diskutiert,
> sondern etwas anderes; anscheinend "die Bijektion zwischen ℕ² und ℕ", wie
> schliesslich von ChatGPT behauptet.
Das ist schließlich dasselbe. Aber auf die Brüche weist er explizit
schon auf S. 126 hin: "Es gehört alsdann zu jeder Zahl p/q ein
bestimmter ganzzahliger, positiver Wert N, und umgekehrt gehört zu einem
solchen Werte von N immer nur eine endliche Anzahl von Zahlen p/q.
Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, daß die
zu kleineren Werten von N gehörigen denen vorangehen, für welche N einen
größeren Wert hat, daß ferner die Zahlen p/q, für welche N einen und
denselben Wert hat, ihrer Größe nach einander folgen, die größeren auf
die kleineren, so kommt jede der Zahlen p/q an eine ganz bestimmte
Stelle einer einfach unendlichen Reihe, deren allgemeines Glied mit
bezeichnet werde."
>
>>> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
>>> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
>>
>> Die positiven ganzen Zahlen sind die λ: 1, 2, 3, ..., die sich aus den
>> Zählern und Nennern der Brüche μ/ν ergeben, welche sie indizieren.
>
> Das ist lediglich *Deine* *Interpretation*.
Nein.
>> Da musst Du den Brief vom 16. Nov. 1883 von Cantor an Lipschitz
>> konsultieren. Er zählt dort die ganze Folge der Brüche von 1/1 bis 9/1
>> auf.
>
> Das ist bis zum Beweis dessen lediglich Deine Interpretation.
Lies ihn doch.
>
>> Aber, dort gibt er die Dubletten wie 2/2 *nicht* an. Er schreibt dort:
>>
>> "Bezeichnet man die Glieder jener Reihe mit
>> F(1), F(2), F(3), ..., F(ν), ...
>> so daß: F(1) = 1; F(2) = 1/2 ; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3 ; F(5) = 3/1; u.s.w."
>
> Angenommen, Cantor schrieb dies in Bezug auf die Abzählbarkeit der
> rationalen Zahlen (was ich nicht überprüfen kann, da ich den Brief nicht
> lesen kann). Dann ist aber offensichtlich, dass dort, im Unterschied zu
> Deiner Zahlenfolge, NICHT "F(5) = 2/2" steht. Deine Zahlenfolge hat also
> mit der Cantors nichts zu tun.
Bist Du tatsächlich nicht in der Lage, Deine eigene Rechnung zu
verstehen? 2/2 hat laut Formel den Index 5. Im Brief an Lipschitz
entfallen die Dubletten. Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in
diesem Falle hat Cantor nicht. Er fragt im Brief danach. Also ist da
eine Supertask angezeigt.
>
>> Nun frage ich den sicher mitlesenden Supertask-Fritsche: Wie hat er die
>> Dubletten denn entfernt? Etwa per Hand in einer Supertask? Denn seine
>> Formel gibt ja alle Brüche wieder.
>
> Das ist lediglich Deine Interpretation.
Das ist eine Frage gewesen.
>
>>> Beachte, dass dort NICHT steht, dass μ der Zähler und ν der Nenner desselben
>>> Bruchs sein sollen.
Lies S. 126.
>>> Ebenso steht dort NICHT "Bijektion zwischen ℚ und ℕ".
Das Wort kannte Cantor noch nicht. Es wurde von Bourbaki erfunden. Die
Bijektion zwischen ℚ und ℕ ist dasselbe wie die Nummerierung einer
unendlichen Matrix. Letzteres macht er axplizit auf S. 295.
Gruß, WM
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Stephan Herrmann
DATE : Wed, 28 Jan 2026 00:03:08 +0100
TEMA : Re: Umformung einer Summe
NUMBER: 29431
SIZE : 2101
---------------------------------------------
ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) writes:
> ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
[...]
>
> Dann kommt es endlich zu der Stelle, wo angeblich von der Linearität
> Gebrauch gemacht wird (Formeln hier näherungsweise mit Reintext
> dargestellt, eine ASCII-Version habe ich schon im OP gepostet).
>
> |However, let’s re-write this Taylor expansion in the compact form
> |f (x0+Δx) = Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n f / dx^n |x=x0. (2.2)
> |Further, because the derivative is a linear operator, we can write
> |f (x0+Δx) =( Σn=0,∞: Δx^n/n! d^n/dx^n ) f(x) |x=x0. (2.3)
>
> . Und ausgerechnet dort wird von der Linearität von "d/dx"
> gar kein Gebrauch gemacht, denn, wie ich in meinem vorigen
> Posting ausgeführt habe, wird die Linearität von "d/dx" für
> die Umformung nicht verwendet, trotz der Behauptung "because
> the derivative is a linear operator".
>
Die Linearität des Differentialoperators wird bei der Umformung
benötigt. Betrachte mal nur die ersten drei Summanden und forme dann
um.
[...]
--
Stephan Herrmann
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Thomas 'PointedEars' Lahn
DATE : Wed, 28 Jan 2026 00:38:40 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29432
SIZE : 9176
---------------------------------------------
WM wrote:
> Am 27.01.2026 um 21:12 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>> wm wrote:
>>> Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
>>>> WM wrote:
>>>>> Cantor schreibt:
>>>>>
>>>>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>>>>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>>>>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>>>>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>>>>
>>>> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben?
>>>
>>> Cantor schrieb es in Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Crelles
>>> Journal f. Mathematik Bd. 84, S. 242 - 258 (1878), § 8. Am leichtesten
>>> findest Du es online in E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte
>>> Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer,
>>> Berlin (1932) p. 132.
>>
>> Das ist richtig, wie man hier frei nachlesen kann:
>>
>>
>>
>> [Mit dem (Studenten-)Login und auch über das VPN meiner Universität war
>> leider kein Zugriff auf die bei Springer verfügbare Version möglich.
>> Also habe ich nach dem Titel gegoogelt.]
>>
>>>>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>>>>> 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
>>>>> 5/1, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1,
>>>>
>>>> Hast *Du* das geschrieben, oder soll Cantor das geschrieben haben?
>>>
>>> Das habe ich geschrieben. Cantor gibt an dieser Stelle die Brüche nicht an.
>>
>> Weil er dort gar nicht die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen diskutiert,
>> sondern etwas anderes; anscheinend "die Bijektion zwischen ℕ² und ℕ", wie
>> schliesslich von ChatGPT behauptet.
>
> Das ist schließlich dasselbe.
Anscheinend nicht, da man z. B. 2/2 nicht zählen soll.
> Aber auf die Brüche weist er explizit schon auf S. 126 hin: "Es gehört als
> dann zu jeder Zahl p/q ein bestimmter ganzzahliger, positiver Wert N, und
> umgekehrt gehört zu einem solchen Werte von N immer nur eine endliche Anzahl
> von Zahlen p/q.
> Werden nun die Zahlen p/q in einer solchen Reihenfolge gedacht, daß die
> zu kleineren Werten von N gehörigen denen vorangehen, für welche N einen
> größeren Wert hat, daß ferner die Zahlen p/q, für welche N einen und
> denselben Wert hat, ihrer Größe nach einander folgen, die größeren auf
> die kleineren, so kommt jede der Zahlen p/q an eine ganz bestimmte
> Stelle einer einfach unendlichen Reihe, deren allgemeines Glied mit
----------------------------------------------------------------------^^^
> bezeichnet werde."
Danke. Leider ist beim Kopieren oder der Zeichenauswahl etwas schiefgangen.
U+F0BA und U+F0BE gehören jedenfalls zur "Private Use Area" von Unicode und
evtl. Unicode-Zeichen mit diesen Codepunkten sind nicht interoperabel (mir
wird deshalb nur der Codepunkt in einem Rechteck angezeigt).
Aber Cantors Formulierung verstehe ich so, dass er Dubletten, die sich aus
unterschiedlichen Brüchen ergeben, bei seiner Zählung ausschliesst, weil er
sie schlicht nicht als Zahl ungleich einer anderen betrachtet (was ja auch
sinnvoll ist).
>>>> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
>>>> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
>>> Die positiven ganzen Zahlen sind die λ: 1, 2, 3, ..., die sich aus den
>>> Zählern und Nennern der Brüche μ/ν ergeben, welche sie indizieren.
>> Das ist lediglich *Deine* *Interpretation*.
>
> Nein.
Beleg?
>>> Da musst Du den Brief vom 16. Nov. 1883 von Cantor an Lipschitz
>>> konsultieren. Er zählt dort die ganze Folge der Brüche von 1/1 bis 9/1
>>> auf.
>>
>> Das ist bis zum Beweis dessen lediglich Deine Interpretation.
>
> Lies ihn doch.
Das ist mir, wie bereits geschrieben, online (und damit im Moment) nicht
möglich.
Aber da *Du* es behauptet hast und offenbar im Besitz des vollständigen
Textes bist, könntest/solltest *Du* den Text so (vollständig genug)
zitieren, dass klar ist, was Cantor tatsächlich gemeint hat und dass er
tatsächlich das gemeint hat, was Du verstanden hast (ich will Dir dann
vorerst mal glauben, dass Du es richtig zitierst; überprüfen kann ich es ja
später, wenn ich das Buch bzw. die Bücher in der Uni-Bibliothek finde oder
dorthin bestellen konnte).
>>> Aber, dort gibt er die Dubletten wie 2/2 *nicht* an. Er schreibt dort:
>>>
>>> "Bezeichnet man die Glieder jener Reihe mit
>>> F(1), F(2), F(3), ..., F(ν), ...
>>> so daß: F(1) = 1; F(2) = 1/2 ; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3 ; F(5) = 3/1; u.s.w."
>>
>> Angenommen, Cantor schrieb dies in Bezug auf die Abzählbarkeit der
>> rationalen Zahlen (was ich nicht überprüfen kann, da ich den Brief nicht
>> lesen kann). Dann ist aber offensichtlich, dass dort, im Unterschied zu
>> Deiner Zahlenfolge, NICHT "F(5) = 2/2" steht. Deine Zahlenfolge hat also
>> mit der Cantors nichts zu tun.
>
> Bist Du tatsächlich nicht in der Lage, Deine eigene Rechnung zu
> verstehen? 2/2 hat laut Formel den Index 5.
Natürlich. Aber genau das ist ja der Knackpunkt: Ich habe im Moment nur
Deine Behauptung, dass Cantor diese Formel *in diesem Zusammenhang* benutzte.
> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
Eben. Vielleicht gab es also von vornherein keine, weil Cantor einen
anderen Algorithmus benutzte als Du.
> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle hat Cantor nicht.
> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel verwendet,
dann ist das wohl so.
Die Frage ist aber, ob man Deine Formel verwenden muss, und ob Cantor
*diese* Formel *dafür* verwendet hat.
>>> Nun frage ich den sicher mitlesenden Supertask-Fritsche: Wie hat er die
>>> Dubletten denn entfernt? Etwa per Hand in einer Supertask? Denn seine
>>> Formel gibt ja alle Brüche wieder.
>>
>> Das ist lediglich Deine Interpretation.
>
> Das ist eine Frage gewesen.
*Deine* Interpretation ist, dass diese Formel *Cantors* Formel sei, und dass
sie von ihm *für diesen Zweck* benutzt wurde.
>>>> Beachte, dass dort NICHT steht, dass μ der Zähler und ν der Nenner desselben
>>>> Bruchs sein sollen.
>
> Lies S. 126.
Geht leider gerade nicht, siehe oben.
>>>> Ebenso steht dort NICHT "Bijektion zwischen ℚ und ℕ".
>
> Das Wort kannte Cantor noch nicht. Es wurde von Bourbaki erfunden.
Mag sein. Es steht dort aber auch nichts Sinngemässes.
> Die Bijektion zwischen ℚ und ℕ ist dasselbe wie die Nummerierung einer
> unendlichen Matrix.
Nicht wirklich:
1. Die negativen rationalen Zahlen fehlen.
2. Man darf die Dubletten nicht nummerieren.
Punkt 1 kann man nur ignorieren, wenn man negative Indizes zulässt.
> Letzteres macht er axplizit auf S. 295.
Schaumermal[tm] ;-)
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PointedEars
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Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Wed, 28 Jan 2026 02:26:29 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29433
SIZE : 4338
---------------------------------------------
Am 27.01.2026 um 01:40 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> WM wrote:
>> Cantor schreibt:
>>
>> Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
>> zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
>> Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
>> voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
>
> Wo *genau* soll Cantor das denn geschrieben haben? Es wird oft online
> behauptet, aber einen verlässlichen Beleg dafür habe ich noch nicht gefunden.
Es gibt ihn aber. :-)
>> Die dargestellten Zahlen sind indessen, wie leicht zu zeigen:
>> 1/1, 1/2, [...]
Cantor hat so eine Liste angegeben (irgendwo in einem Brief).
> Das solltest Du noch einmal überprüfen, denn bereits 1/2 widerspricht sehr
> offensichtlich obiger Behauptung: 1/2 ist keine positive ganze Zahl.
Ja, sicher. lol. Die Folge "1/1, 1/2, ..." ergibt sich "quasi" als
Umkehrfunktion der Funktion, die Cantor mit Hilfe der Formel μ + (μ + ν
- 1)(μ + ν - 2)/2 definiert hat.
n/m (=(n,m)) <-> k
Wenn Cantor also schreibt:
| Es hat nämlich die Funktion λ = μ + (μ + ν - 1)(μ + ν - 2)/2, wie leicht
| zu zeigen, die bemerkenswerte Eigenschaft, daß sie alle positiven ganzen
| Zahlen und jede nur einmal darstellt, wenn in ihr μ und ν unabhängig
| voneinander ebenfalls jeden positiven, ganzzahligen Wert erhalten.
will er damit ausdrücken, dass IN x IN --> IN eine Bijektion ist.
> Mit meinem ECMAScript-Programm
>
> for (var μ = 1; μ < 4; ++μ) {
> for (var ν = 1; ν < 4; ++ν) {
> console.log(μ + (μ + ν - 1) * (μ + ν - 2)/2);
> }
> }
>
> was, wie ich meine, den beschriebenen Algorithmus implementiert, erhalte ich
> stattdessen die Ausgabe
>
> 1
> 2
> 4
> 3
> 5
> 8
> 6
> 9
> 13
>
> wobei keine Zahl mehrfach ausgegeben wird.
Siehe obiges Cantor-Zitat.
> Anscheinend ist also die zitierte Behauptung, von wem auch immer sie stammt,
> wahr.
In der Tat. :-)
Nur ist so ein Progrämmchen kein Ersatz für einen BEWEIS.
> [...]
--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Wed, 28 Jan 2026 03:37:24 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29434
SIZE : 6105
---------------------------------------------
Am 28.01.2026 um 00:38 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:
> WM wrote:
>> Im Brief an Lipschitz entfallen die Dubletten.
>> Aber eine Formel zur Berechnung der Indizes in diesem Falle hat Cantor nicht.
>> Er fragt im Brief danach. Also ist da eine Supertask angezeigt.
Schwachsinn.
Es gibt verschiedene (rein) mengentheoretische Möglichkeiten, um die
_Existenz_ einer Bijektion von IN auf (erst mal nur) Q+ zu zeigen. (Und
mindestens eine war offenbar schon Cantor bekannt.)
Man konnte z. B. den Satz heranziehen, dass eine unendliche Teilmenge
einer abzählbar unendlichen Menge ebenfalls abzählbar unendlich ist.
Eine andere Möglichkeit wäre, dazu den Satz von
Cantor-Bernstein-Schröder heranzuziehen:
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor-Bernstein-Schr%C3%B6der
> Wenn man die nachträglich entfernen muss, weil man Deine Formel verwendet,
> dann ist das wohl so.
Nein, das ist nicht so.
Man kann aber auch gleich z. B. die Stern-Brocot-Folge heranziehen.
Für die Berechnung ihrer Terme gibt es ebenfalls eine explizite FORMEL:
Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot-Folge#Berechnung_der_Folgenglieder
Und daraus erhält man sofort eine Bijektion von der Menge der
natürlichen Zahlen auf Q+:
"_Abzählung der rationalen Zahlen_
Für Cantors erstes Diagonalargument wird eine Bijektion zwischen den
Natürlichen Zahlen und den Rationalen Zahlen benötigt. Diese ergibt sich
in einfacher Weise einerseits aus der eindeutig vergebenen Nummer n des
Bruchs s_n/s_(n+1)."
Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Brocot-Folge#Abz%C3%A4hlung_der_rationalen_Zahlen
>> [Cantors] Formel [bezieht sich ja nur auf] alle Brüche
Ja, das ist richtig.
>> Lies S. 126.
>>
> Geht leider gerade nicht, siehe oben.
|"Gestatten Sie mir bei dieser Gelegenheit, Ihnen eine specielle Frage
| vorzulegen. Folgende Reihe von rationalen Zahlen erscheint mir sehr
| merkwürdig:
|
| 1/1; 1/2, 2/1; 1/3, 3/1; 1/4, 2/3, 3/2, 4/1; 1/5, 5/1;
| 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6/1; 1/7, 3/5, 5/3, 7/1;
| 1/8, 2/7, 4/5, 5/4, 7/2, 8/1; 1/9, 3/7, 7/3, 9/1; etc.
|
| Das Gesetz dieser Reihe ist ein höchst einfaches: Sie sehen, dass die
| Reihe nach gewissen Abschnitten fortschreitet, von denen jeder
| zwischen zwei ;; eingeschlossen ist. Der erste Abschnitt enthält
| φ(2) = 1, der zweite φ(3) = 2, der (n-1)-te Abschnitt φ(n) Zahlen, wo
| φ(n) die Anzahl aller relativen Primzahlen zu n, die kleiner als n
| sind, bestimmt.
| Innerhalb des (n-1)-ten Abschnittes bilden die Zähler der rationalen
| Zahlen die aufsteigende Reihe der φ(n) Zahlen rel. prim zu n und
| kleiner als n, die Nenner die absteigende Reihe derselben φ(n) Zahlen.
| Die so definirte unendliche Reihe hat nun das merkwürdige an sich,
| sämmtliche positiven rationalen Zahlen und jede von ihnen nur einmal
| an einer bestimmten Stelle zu enthalten. Bezeichnet man die Glieder
| jener Reihe mit
| F(1), F(2), F(3), ... , F(ν), ...
| so daß:
| F(1) = 1; F(2) = 1/2; F(3) = 2/1; F(4) = 1/3; F(5) = 3/1; u.s.w.
| so ist F(ν) eine zahlentheoretische Function, welche wenn ν alle
| positiven ganzen Zahlen durchläuft, ihrerseits alle positiven
| rationalen Zahlenwerthe und jeden nur einmal annimmt.
| Liesse sich nicht [...] ein [...] Ausdruck für die
| Function F(ν) finden?"
|
| [G. Cantor, Brief an R. Lipschitz (19 Nov 1883)]
Cantors Frage kann (heute) also _mutatis mutandis_ positiv beantwortet
werden: Es gibt so einen "Ausdruck" (ich sag jetzt mal "eine Formel")
für eine Funktion G(ν), so dass: G(1) = 1; G(2) = 1/2; G(3) = 2/1; G(4)
= 1/3; G(5) = 3/2; u.s.w. [wo G(n) = s_n/s_(n+1) ist für alle n e IN.]
Scheinbar hat Mückenheim noch nichts von der Stern-Brocot-Folge und
ihren Eigenschaften gehört und schwadroniert lieber über iw.
eingebildeten Supertasks (->Wahn).
.
.
.
--
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