A Example: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

connected.
num: 29638
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Mon, 1 Dec 2025 08:28:37 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?F=2C_Die_Menge_fast_aller_nat=C3=BCrlichen_Zahle?= NUMBER: 29628 SIZE : 2142 --------------------------------------------- Am 30.11.2025 um 23:05 schrieb Rainer Rosenthal: > Am 30.11.2025 um 22:47 schrieb WM: >> On 30.11.2025 22:28, Rainer Rosenthal wrote: >>> Die von Dir gedachte ausgezeichnete Menge F (Fantasie-Menge) gibt es >>> nicht. >> >> Falsche Behauptung. Hier ist ein Beweis: >> Die harmonische Reihe divergiert. ... >> Dass trotzdem Divergenz besteht, ist ein Beweis für die riesige Menge >> dunkler Zahlen. >> > > Mit dem Fantasie-Begriff "dunkle Zahlen" gewinnst Du keinen Blumentopf. > Es gibt viele riesige Mengen, wie ich oben geschrieben habe, aber "die > riesige Menge" ist Dein Fantasie-Produkt. Ein Beweis wurde von mir gegeben und von Dir gelöscht. Sobald Du sachlich darauf eingehst, werde ich Deine Beiträge wieder beantworten. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Mon, 1 Dec 2025 08:48:17 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_News_for_M=C3=BCckenheim_//_TH31_Die_Menge_fast_all?= =?UTF-8?Q?er_nat=C3=BCrlichen_Zahlen?= NUMBER: 29629 SIZE : 3496 --------------------------------------------- Am 30.11.2025 um 22:49 schrieb WM: > On 30.11.2025 22:28, Rainer Rosenthal wrote: > >> Deine Vorstellung, dass oo erreicht werden könne, ist Unsinn. > > Hinüberzählen. > >> Dazu habe ich Dir was geschrieben, und es wäre nett, wenn Du antwortest. habe ich doch im letzten Artikel getan, das sich der Satz auf das: a) oo abzählbare, und b) oo über-abzählbare bezieht. Wie man das nun korrekt in mathematischen Definitionen schreibt, davon habe ich keine Ahnung - ich habe das nie lernen können, außer durch hier formulierten Formeln... Aber da weiß ich nicht, ob eine einfach daher geschriebene Formel eine Definition sein sollte ? Natürlich hast Du Recht, das man oo nie erreichen kann - auch ein Juck Norris kann das nicht. Aber die Mathematik ist ja ein Gedankenkonstrukt, das alles mögliche ab- decken kann - genauso wie WM's schwarze Zahlen, die bekannten definiert- en Zahlen abdecken können (wie man das in der Physik oder besser: Astro- physik her kennt, wenn ein im Hintergrund ein kleiner Stern von ein oder mehreren im Vordergrund stehenden, größeren Stern bedeckt wird mit sein- er Luminanz... So können auch schwarze Löcher den Blick "nach hinten" verdecken. Und die existenz von schwarzer Materie, und damit einhergehenden schwar- zen Zahlen wurde von einer amerikanischen Astrologinn bereits bewiesen. Mit den erfolgten Forschungen und den (nicht alzu) neuen Gebiet der Gal- laxien-Forschung, können in der modernen Physik Satelitten in den Welt- raum geschossen werden, die dann die (unsere) Milchstraße erkunden, und die "tatsächlich" umherliegenden schwarzen Sterne sichtbar machen. So existiert in unserer Galaxie, gleich links um die Ecke ein schwarzes Loch, das zwar "noch" ungefährlich für die Erde ist, weil viele Astro- logen sagen, dass dieses schwarze Loch inaktiv ist (um die Menschen auf Gaja zu beruhigen), aber mal im ernst: sind schwarze Löcher inaktiv oder kann man da irgendwo da oben im luftleeren Raum nen Knubbel drücken, um so das "Materie aufsaugen" anzuhalten ? Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Stefan Ram DATE : 1 Dec 2025 11:22:28 GMT TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29630 SIZE : 3568 --------------------------------------------- ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte: >ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte: >>"Mathematical Foundations And Aspects of Discrete Mathematics" >>(May 3, 2025) - Jean Gallier and Jocelyn Quaintance >Inzwischen habe ich dort noch etwas weitergelesen. Eigentlich wäre für mich ein Text über die in der Physik wichtigen /Faserbündel/ passender, aber der Zufall hat mich zu dem obigen Text geführt (ich sammle Sachen, die ich später lesen will, und wähle dann zufällig eine darunter aus), und ich konnte es noch nicht über mich bringen, die Lektüre abzubrechen . . . Nun bin ich bei der Einführung von /Funktionen/ angelangt. Injektivität und Surjektivität ist mir im Grunde schon lange vertraut - sie wird auch noch mit überdeutlichen Diagrammen veranschaulicht, während schwierigere Dinge manchmal schneller übergangen werden. Aber dann kommen Links- und Rechtsinverse, mit denen ich weniger vertraut bin. Und nun kommt's! Gleich nach den Rechtsinversen kommen . . . Schnitte und Fasern! |Any right inverse h of a surjection f : A --> B is called a |/section/ of f . . . |We can think of A as a big "blob" consisting of the union of |the sets f^{-1}(b) (called fibres) . Ich kannte Schnitte und Fasern bisher eben nur von den Faserbündeln, und es ist für mich wirklich neu, daß man Schnitte und Fasern direkt einführen kann, nachdem man gerade erst Funktionen und Rechtsinverse eingeführt hat! Zwei andere Dinge, die mir noch aufgefallen sind: |When A = B, a bijection f : A --> A is called a /permutation/ of A. . Da hier die Funktionen nicht weiter eingeschränkt wurden, wäre demnach auch die Quadratfunktion auf [0,1] eine "Permutation". |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 1 Dec 2025 12:54:55 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29631 SIZE : 2981 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for > | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) > | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht > ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" > beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses > Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. Gemeint ist wohl: If A =/= {}, a function f: A --> B is surjective <=> for every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) <=> iff f^{-1}(b) =/= {} for all b e B. Ich sehe aber keinen Sinn darin, den Satz auf Funktionen mit nichtleerem Definitionsbereich (A) einzuschränken. Ich würde A function f: A --> B is surjective <=> for every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) <=> iff f^{-1}(b) =/= {} for all b e B. Vgl.: https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion#Definition und: https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html (insbes. "Das Urbild einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als f^{-1}(b) := f^{-1}({b}) = {x e A | f(x) = b} und nennt es das Urbild von b unter f.") In https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html heißt es dann weiter: "Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten). Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln." Aha! . . -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 1 Dec 2025 13:03:47 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29632 SIZE : 1698 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > | "When A = B, a bijection f: A --> A is called a /permutation/ of A." Würde /ich/ so schreiben: "When A = B, a bijection f: A --> B is called a /permutation/ of A." Oder -einfacher- gleich so: "A bijection f: A --> A is called a /permutation/ of A." Nitpicking. -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 1 Dec 2025 13:26:46 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29633 SIZE : 1930 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > | When A = B, a bijection f: A --> B is called a /permutation/ of A. > > Da hier die Funktionen nicht weiter eingeschränkt wurden, wäre > demnach auch die Quadratfunktion auf [0,1] eine "Permutation". In der Tat. Aber es steht Autoren frei, einen "Ausdruck" (im Kontext Ihrer Arbeit) auf Ihre Weise zu definieren (auch wenn die Definition viell. von der "üblichen" Definition des Ausdrucks "abweicht"). Formal ist an obiger Definition nichts auszusetzen (würde ich sagen). . . . -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Sun, 30 Nov 2025 22:35:03 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_News_for_M=C3=BCckenheim_//_TH31_Die_Menge_fast_all?= =?UTF-8?Q?er_nat=C3=BCrlichen_Zahlen?= NUMBER: 29634 SIZE : 1960 --------------------------------------------- On 30.11.2025 22:26, Rainer Rosenthal wrote: > Am 30.11.2025 um 19:04 schrieb WM: >> >> Wenn nach jeder Zahl eine größere kommt, dann ist es unmöglich, alle >> Zahlen zu einer Menge zu vereinigen. >> > > Wer nicht denken kann, kann sich die natürlichen Zahlen natürlich auch > nicht als Menge denken. > Falsch. Wer denken kann, kann sich die natürlichen Zahlen nicht ohne dunkle Zahlen als Menge denken. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Sun, 30 Nov 2025 18:53:55 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_News_for_M=C3=BCckenheim?= NUMBER: 29635 SIZE : 1957 --------------------------------------------- On 30.11.2025 12:27, joes wrote: > Am Sat, 29 Nov 2025 21:02:06 +0100 schrieb WM: > >> Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm >> unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das nicht >> gelten, oder möchtest Du behaupten, dass allen natürlichen Zahlen fast >> alle natürlichen Zahlen nachfolgen?, dass alle natürlichen Zahlen also >> nicht alle natürlichen Zahlen sind? > > Der letzte Nebensatz folgt nicht, weil du wie immer die Quantoren > verwechselt hast. Wenn fast alle auf alle folgen, dann helfen auch Quantoren nicht, den Widerspruch aufzulösen. Gruß, WM> ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Mon, 1 Dec 2025 17:18:33 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29636 SIZE : 5460 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for > | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) > | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. - auf Deutsch bedeutet das: es gibt eine Funktion f, die IA auf IB abbildet, gilt als surjektiv genau dann, wenn für jedes b e IB eine gleiche "äquivalente" Funktion b = f(a) gibt - das wörtchen "iff" steht für "if and only if" auf Deutsch: - "genau dann, wenn", doer: - "wenn und nur wenn" - die Aussage gilt in beide Richtungen Zur Erinnerung: - eine Abbildung (Funktion) f : A -> B. heißt "surjektiv" wenn jedes Element von B ein Bild eines Elements aus A entspricht. Für jedes b e IB gibt es mindestens ein a e IA, so dass f(a) == b. Für die Hinzunahme eines Quantor würde man sicherlich schreiben wollen Vb e IB : 3 a e IA. oder: va e IA : 3 b e IB. - das "iff" dient als "Bedingung" für "notwendig und ausreichend". - für einen 3-D Raum R ^3 -> f:R ^3 -> R ^3, f(x) = x ^3 - jede reelle Zahl hat eine reelle 3. Wurzel - xy und z können ins negative verschoben werden, während ein oder 2 Argumente ansteigen können. Beispiel: 1. Ausgangslage einer Figur im 3D Raum xyz := 0 2. xy können einen anstieg von 5 Positions-Einheiten aufweisen 3. z kann nach hinten verlagert werden, so dass z negativ wird aber xy noch im positiven Bereich (5 Einheiten) positioniert sind. - entspricht eine Surjektion - für einen 2-D Raum R ^2 -> f:R ^2 -> R ^2, f(x) = x ^2 - wächst stetig oder proportional an, und entwickelt daher keine (im allgemeinen) negativen Werte, die entstehenden Werte können nicht im Ursprungsbild untergebracht werden... Beispiel: Bäckerbrot-Teig: 0. Urzustand: 1 kg 1. Stunde 2 kg 2. Stunde 4 kg 3. Stunde 6 kg ... - entspricht keine Surjektion Wie kann man sich das außerhalb der Mathematik vorstellen ? - in der Telefondatenbank/Buch stehen die Telefonnummern von Menschen mit registrierten Telefon-Ansprech-Partner... - nehmen wir mal Blacky als Ansprech-Partner... - Blacky hat die Telefonnummer (in HEX) : CAFE - A entspricht dem Telefonbuch - B die Telefonnummern - dann ist b = Blacky - dann ist a = CAFE - die Telefonnummer von Blacky - das ergibt dann f(a) = b. Zu merken sind: - bei einer Surjektion wird jedes Ziel (jeder Telefonapparat im Cafe) wird durch die Telefonnummer CAFE an Blacky durchgereicht 1 zu 1. Jetzt wird es interessant für den Stefan, weil der doch Technikfreak ist... - es gibt doch Telefonanlagen, die "eine" Nummer entgegen nehmen und dann per weiteren Tastendruck an die gewünschte stelle durch stellen, so dass Blacky garnicht mehr in sein Telefonhäusschen gebraucht wird, wenn einer seiner Gäste ein Telefonat erwartet, da jeder Gast eine andere Telefon-Nummer hat (die hinter der Hauptnummer steht)... - dann haben wir zwar im Grund das gleiche Ergebnis wie zuvor, aber da Blacky nicht wissen kann, zu welcher Zeit denn nun und aus welchen Gründen auch immer, der Telefonpartner die 3 nach der Hauptnummer wählt, um Uschi zu kontaktieren, entsteht hier eine Injektivität. - bei einer Injektivität ist also keine 1:1 Leitung mehr vorhanden, da nun mehrere Endpunkte angesprochen werden auf einer (Haupt)Leitung man spricht dann auch von 1 zu n Verbindung Aber jetzt kommts: - Blacky möchte in seinen Eifer und Neugier gerne wissen, was denn die Uschi mit Schorschel zu bereden hat, und baut eine Telefon-Schleife in seine Telefon-Analge ein, so dass er jederzeit "reinhören" kann. - dann spricht man von einer 1 zu m (m für mehrere) Verbindung... - wenn man also die beiden Szenarious zusammen legt: - Schorschel rüft Blackies Nummer (Telefonanlage) an, um Uschi zu reden - Blacky hängt sich (fast) unbemerkt in das Gespräch von Uschi und Schorschel dazu/ein - dann spricht man von Bijektivität oder Bijektion (also wenn beide: Surjektivität und Injektivität zusammen treffen). Ich hoffe, dass war jetzt nicht zu technisch geraten... aber man will ja auch guten Dienst schieben, und die MINT Fäshler berücksichtigen und mit Informationen abchecken... Mit freundlichen Grüßen Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Martin Vaeth DATE : 1 Dec 2025 17:46:34 GMT TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29637 SIZE : 3484 --------------------------------------------- Stefan Ram schrieb: > > Eigentlich wäre für mich ein Text über die in der Physik > wichtigen /Faserbündel/ passender Da solltest Du in ein geeignetes Topologiebuch schauen oder - für die wichtigste physikalische Anwendung - in ein geeignetes Buch über Differentialgeometrie. > Gleich nach den Rechtsinversen kommen . . . Schnitte und Fasern! > >|Any right inverse h of a surjection f : A --> B is called a >|/section/ of f > . . . >|We can think of A as a big "blob" consisting of the union of >|the sets f^{-1}(b) (called fibres) Jein. Das kann man zwar formal so einführen, aber für beliebige Abbildungen f ist der Begriff “Faser” für Urbilder einzelner Elemente unüblich, weil man damit üblicherweise eine geometrische oder zumindest topologische Vorstellung verbindet, die erst durch eine zusätzliche Struktur (Differentialstruktur bzw. Topologie) gegeben ist. Der Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Faserb%C3%BCndel ist ganz brauchbar, wenngleich - wie erstaunlicherweise gerade in Topologie häufig - wenig anschaulich. Die Beispiele sind aber ganz gut und anschaulich. Der entscheidende Punkt in der Definition ist nicht nur die Surjektivität bzw. Bijektivität der Abbildungen sondern die *Stetigkeit* der Abbildungen bzw. Umkehrabbildungen und die Offenheit von U: Nur deswegen ergibt es einen Sinn, von einer *lokalen* Darstellung zu reden. Rein formal ist die Definition für beliebige Funktionen natürlich „richtig“, weil man ja überall diskrete Topologien betrachten kann, aber dann hat das Ganze mit der Anschauung (und der physikalischen Interpretation) schon gleich gar nichts mehr zu tun. >|When A = B, a bijection f : A --> A is called a /permutation/ of A. > > . Da hier die Funktionen nicht weiter eingeschränkt wurden, wäre > demnach auch die Quadratfunktion auf [0,1] eine "Permutation". Ja, das ist üblich. >|8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for >| every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) >| iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht > ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" > beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses > Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. Nach "there" fehlt m.E. ein "is", und ich denke, vor dem zweiten "iff" wurde ein "i.e." vergessen. „f:A->B ist surjektiv“ gdw. „Für alle b aus B gibt es a mit b=f(a)”. Und für b aus B gilt Letzteres (d.h. „Es gibt ein a mit b=f(a)“) gdw. „f^{-1}(b) != 0“.