A Example:
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$
connected.
num: 29569
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Sun, 23 Nov 2025 23:13:11 +0100
TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29559
SIZE : 5075
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 21:59 schrieb Stefan Ram:
> ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>> "Mathematical Foundations And Aspects of Discrete Mathematics"
>> (May 3, 2025) - Jean Gallier and Jocelyn Quaintance
>
> Inzwischen habe ich dort noch etwas weitergelesen.
>
> Nach der Einführung kommt ein Beweiskalkül, das Beweisregeln
> vorgibt. Beispielweise die triviale Regel, daß man P beweisen
> kann, wenn P vorausgesetzt wurde. Dann die Regel, daß man P=>Q
> beweisen kann, indem man P voraussetzt, dann Q zeigt, und danach
> P wieder aus den Voraussetzungen entfernt. Damit kann man dann
> wohl zeigen: P=>P. Letztendlich kann man dann mit weiteren Regeln
> zum Beispiel Pv-P beweisen. Zum Thema wird dort: "Mathematics:
> A Very Short Introduction" (2003) von Timothy Gowers empfohlen.
In einem System des natürlichen Schließens für die (klassische)
Aussagenlogik kann man das so darstellen: Es gibt (u.a.) eine
Annahmeregel, die es erlaubt eine bel. aussagenlogische Aussage A
einzuführen:
[A]
Daraus ergibt sich dann sofort: A |- A, dass also A ausgehend von der
Prämisse A bewiesen werden kann (dass es also einen entsprechenden
Beweis gibt).
Ebenso gibt es eine "->-Einführungsregel":
[A]
:
B
------
A -> B
Und ja, damit kann man |- A -> A zeigen:
[A]
------
A -> A
> Obwohl das ganze nicht konstruktivistisch ist, wird der
> Konstruktivismus erwähnt.
Das von Gentzen angegebene System des natürlichen Schließens für die
klassische Logik ist eng mit dem von ihm angegebenen System des
natürlichen Schließens für die intuitionistische Logik verwandt.*)
Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens
> Die Beispiele für die Beweise stammen oft aus dem Bereich der
> Zahlentheorie. So wird gezeigt, daß bestimmte Zahlen rational
> oder irrational sind und es wird angekündigt, daß diese Frage
> später auch noch für "Wurzel(2) hoch Wurzel(2)" beantwortet
> werden wird. Zuerst wird einmal gezeigt: Es gibt ein Paar
> irrationaler Zahlen (a, b), so daß "a hoch b" rational ist!
Hier kann man, weil Du weiter oben den Konstruktivismus erwähnt hast,
auf folgenden Aufsatz verweisen: Eric Schechter, Constructivism is
Difficult (https://math.vanderbilt.edu/schectex/papers/difficult.pdf)
"Theorem A. There exist positive, irrational numbers a and b such that
a^b is rational.
Here is a quick, easy proof:
If √2^√2 is rational, use a = b = √2.
If √2^√2 is irrational, use a = √2^√2 and b = √2; then a^b = 2."
Nun heißt es aber weiter:
"This argument would convince most mathematicians that suitable numbers
a and b "exist", but we haven't found a, so this proof is
nonconstructive. (We have found b, but some constructivists would say
that we still haven't constructed b, because we don't know which of the
two cases holds. The words "find" and "construct" are often, but not
always, used interchangeably.)"
> Das erinnert mich etwas an ein Buch, das ich vor Jahrzehnten
> las: "Logische Propädeutik: Vorschule des vernünftigen Reden"
> von Kamlah und Lorenzen. Der Titel täuscht etwas, da man eine
> allgemeine Einführung in die Voraussetzungen der Logik erwartet,
> aber man erhält WIMRE ein wohl konstruktivistisches System
> für Dialoge, das auch eine Art von Beweiskalkül darstellt.
Ja.
________________________________________________
*) "The base logic of constructive analysis is intuitionistic logic."
(Wikipedia, Constructive analysis)
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FROM : Moebius
DATE : Sun, 23 Nov 2025 23:21:55 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29560
SIZE : 2405
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>
>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>
>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>> Nirvana?
>>
> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
So so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei
Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
*Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das
sein?
Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine
Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten"
"kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
.
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FROM : Moebius
DATE : Sun, 23 Nov 2025 23:43:57 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29561
SIZE : 3957
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:21 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
Um nicht missverstanden zu werden:
Ja, natürlich, der Grenzwert einer Folge basiert "auf den unendlich
vielen Termen" der Folge. Nur macht in diesem Zusammenhang der Ausdruck
"nach unendlich vielen Schritten" keinen (erkennbaren) Sinn.
Wenn ich im Gegensatz zu einer (gewöhnlichen) Folge mit Indexmenge IN
eine Folge mit Indexmenge IN u {omega} betrachten würde, DANN hätte die
Redeweise von "nach allen Termen mit natürlichem Index" einen Sinn.
Z. B. könnte man die "erweiterte Folge"
F = (1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 0)
mit Indexmenge IN u {omega} (und F(n) = 1/n für alle n e IN sowie
F(omega) = 0) betrachten. Dann würde der Grenzwert der (Teil)Folge (1,
1/2, 1/3, 1/4, ...) tatsächlich NACH allen Termen der Folge F mit
natürlichem Index "stehen".
Mein Vorschlag wäre, es damit gut sein zu lassen. Ich habe keine Lust
meine Zeit mit Schwachsinn zu verschwenden, der letztlich auf das
saudumme Gelaber Mückenheims zurückgeht.
Jedenfalls habe ich in meiner Ausbildung noch nie davon gehört, dass ein
Grenzwert irgend etwas mit "nach unendlich vielen Schritten" zu tun hätte.
Ganz im Gegenteil muss man Mückenheim darin recht geben, dass die
Analysis einmal "potentialistisch" betrieben wurde, ohne Bezugnahme auf
"aktual unendliche" Gesamtheiten.
Diese Auffassung findet sich selbst noch bei HILBERT. (Siehe:
David Hilbert, Über das Unendliche, 1926)
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>>> Nirvana?
>>>
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>
> So, so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei
> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
>
> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
>
> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das
> sein?
>
> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine
> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten"
> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
>
>
>
> .
> .
> .
>
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FROM : Moebius
DATE : Sun, 23 Nov 2025 23:55:57 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29562
SIZE : 2397
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>> Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:
>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>
>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>> Nirvana?
>
> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
Red doch keinen Unsinn: Wer nicht in der Lage ist, den "Supertaskaspekt"
in Mückenheims Geschwalle zu erkennen, und im Versuch Mückenheim zu
"widersprechen", selbst Begrifflichkeiten, die nur im Kontext eines
Supertasks Sinn machen, aufgreift, sollte einfach mal die Fresse halten.
Mir scheint, dass Du "nach unendlich vielen Schritten" nicht beim
Grenzwert, sondern im Sumpf gelandet bist.
.
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DATE : Mon, 24 Nov 2025 00:07:51 +0100
TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29563
SIZE : 2329
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 22:41 schrieb Stefan Ram:
> ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>>
>> Zuerst wird einmal gezeigt: Es gibt ein Paar irrationaler Zahlen (a, b), so daß "a hoch b" rational ist! [A]
>
> Dies ist eigentlich ein schönes Beispiel für einen
> /nicht-konstruktiven/ Beweis, da sich hier die Nicht-
> Konstruktivität auf eine Auswahl zwischen /zwei/ Fällen
> bezieht und nicht auf unendlich viele wie sonst oft. [...]
Eric Schechter erwähnt aber auch einen konstruktiven Beweis für diese
Behauptung:
"Some theorems are inherently nonconstructive; for instance [...] cannot
be given a constructive proof. For other theorems, however, a
nonconstructive proof can be replaced by a constructive proof. For
instance, here are two constructive proofs of our Theorem A:
o It is easy to show that a = √2 and b = log_2 9 are both irrational,
and a^b = 3.
o [...]"
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FROM : Moebius
DATE : Mon, 24 Nov 2025 00:14:01 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29564
SIZE : 2716
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:55 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>> Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:
>>>
>>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>>> Nirvana?
>>
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>
> Red doch keinen Unsinn: Wer nicht in der Lage ist, den "Supertaskaspekt"
> in Mückenheims Geschwalle zu erkennen, und im Versuch Mückenheim zu
> "widersprechen", selbst Begrifflichkeiten, die nur im Kontext eines
> Supertasks Sinn machen, aufgreift, sollte einfach mal die Fresse halten.
Viell. ist es hilfreich, einfach mal etwas zum Thema zu zitieren:
"A supertask is a countably infinite sequence of operations that occur
sequentially within a finite interval of time." (Wikipedia)
> Mir scheint, dass Du "nach unendlich vielen Schritten" nicht beim
> Grenzwert, sondern im Sumpf gelandet bist.
>
> .
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> .
>
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FROM : Moebius
DATE : Mon, 24 Nov 2025 00:21:13 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29565
SIZE : 2111
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:
> Sagt einem ChatGPT auch, was man sich in diesem Zusammenhang unter "nach
> unendlich vielen Schritten" vorstellen soll?
Gute Frage.
Wie es scheint, kann Dir das Carlo XYZ beantworten.
Meinen Einwand:
| "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im Nirvana?
beantwortet er wie folgt:
| Nein, beim Grenzwert.
Also wird er wohl wissen (würde man meinen), "was man sich in diesem
Zusammenhang unter 'nach unendlich vielen Schritten' vorstellen soll". :-P
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FROM : Moebius
DATE : Mon, 24 Nov 2025 00:57:43 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29566
SIZE : 2637
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:21 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>>> Nirvana?
>>>
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>
> So so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei
> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
"Die Folge 1/n hat unendlich viele Schritte oder Glieder, danach folgt
der Grenzwert." (W. Mückenheim)
> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
>
> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das
> sein?
>
> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine
> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten"
> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
>
>
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FROM : Moebius
DATE : Mon, 24 Nov 2025 01:01:50 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29567
SIZE : 4313
---------------------------------------------
Am 23.11.2025 um 23:43 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:21 schrieb Moebius:
>> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>
> Um nicht missverstanden zu werden:
>
> Ja, natürlich, der Grenzwert einer Folge basiert "auf den unendlich
> vielen Termen" der Folge. Nur macht in diesem Zusammenhang der Ausdruck
> "nach unendlich vielen Schritten" keinen (erkennbaren) Sinn.
Außer für Mückenheim (und -womöglich- Carlo XYZ und/oder joes):
"Die Folge 1/n hat unendlich viele Schritte oder Glieder, danach folgt
der Grenzwert." (W. Mückenheim)
> Wenn ich im Gegensatz zu einer (gewöhnlichen) Folge mit Indexmenge IN
> eine Folge mit Indexmenge IN u {omega} betrachten würde, DANN hätte die
> Redeweise von "nach allen Termen mit natürlichem Index" einen Sinn.
>
> Z. B. könnte man die "erweiterte Folge"
>
> F = (1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 0)
>
> mit Indexmenge IN u {omega} (und F(n) = 1/n für alle n e IN sowie
> F(omega) = 0) betrachten. Dann würde der Grenzwert der (Teil)Folge (1,
> 1/2, 1/3, 1/4, ...) tatsächlich NACH allen Termen der Folge F mit
> natürlichem Index "folgen".
>
> Mein Vorschlag wäre, es damit gut sein zu lassen. Ich habe keine Lust
> meine Zeit mit Schwachsinn zu verschwenden, der letztlich auf das
> saudumme Gelaber Mückenheims zurückgeht.
>
> Jedenfalls habe ich in meiner Ausbildung noch nie davon gehört, dass ein
> Grenzwert irgend etwas mit "nach unendlich vielen Schritten" zu tun hätte.
>
> Ganz im Gegenteil muss man Mückenheim darin recht geben, dass die
> Analysis einmal "potentialistisch" betrieben wurde, ohne Bezugnahme auf
> "aktual unendliche" Gesamtheiten.
>
> Diese Auffassung findet sich selbst noch bei HILBERT. (Siehe:
> David Hilbert, Über das Unendliche, 1926)
>
>>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>>
>>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im
>>>> Nirvana?
>>>>
>>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>>
>> So, so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei
>> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
>>
>> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
>>
>> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann
>> das sein?
>>
>> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine
>> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten"
>> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
>>
>>
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Mon, 24 Nov 2025 01:14:47 +0100
TEMA : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29568
SIZE : 2910
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Am 23.11.2025 um 23:43 schrieb Moebius:
> [...] Ganz im Gegenteil muss man Mückenheim darin recht geben, dass die
> Analysis einmal "potentialistisch" betrieben wurde, ohne Bezugnahme auf
> "aktual unendliche" Gesamtheiten.
>
> Diese Auffassung findet sich selbst noch bei HILBERT:
"Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor
Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in
der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem Un-
endlichengroßen als Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem,
Erzeugtem, d. h., wie man sagt, mit dem /potentiellen Unendlichen/ zu
tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben
wir z. В., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1, 2, 3, 4, ... selbst als
eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine
Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des
Unendlichen wird als /aktual unendlich/ bezeichnet." (David Hilbert,
Über das Unendliche, 1926)
Dass inzwischen die zeitgenössische/moderne Analysis wesentlich auf der
(axiomatischen) Mengenlehre basiert, kann man Mückenheim natürlich nicht
vermitteln.
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