A Example: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 29643
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : WM DATE : Sun, 30 Nov 2025 18:53:55 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_News_for_M=C3=BCckenheim?= NUMBER: 29633 SIZE : 1957 --------------------------------------------- On 30.11.2025 12:27, joes wrote: > Am Sat, 29 Nov 2025 21:02:06 +0100 schrieb WM: > >> Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm >> unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das nicht >> gelten, oder möchtest Du behaupten, dass allen natürlichen Zahlen fast >> alle natürlichen Zahlen nachfolgen?, dass alle natürlichen Zahlen also >> nicht alle natürlichen Zahlen sind? > > Der letzte Nebensatz folgt nicht, weil du wie immer die Quantoren > verwechselt hast. Wenn fast alle auf alle folgen, dann helfen auch Quantoren nicht, den Widerspruch aufzulösen. Gruß, WM> ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Mon, 1 Dec 2025 17:18:33 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29634 SIZE : 5460 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for > | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) > | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. - auf Deutsch bedeutet das: es gibt eine Funktion f, die IA auf IB abbildet, gilt als surjektiv genau dann, wenn für jedes b e IB eine gleiche "äquivalente" Funktion b = f(a) gibt - das wörtchen "iff" steht für "if and only if" auf Deutsch: - "genau dann, wenn", doer: - "wenn und nur wenn" - die Aussage gilt in beide Richtungen Zur Erinnerung: - eine Abbildung (Funktion) f : A -> B. heißt "surjektiv" wenn jedes Element von B ein Bild eines Elements aus A entspricht. Für jedes b e IB gibt es mindestens ein a e IA, so dass f(a) == b. Für die Hinzunahme eines Quantor würde man sicherlich schreiben wollen Vb e IB : 3 a e IA. oder: va e IA : 3 b e IB. - das "iff" dient als "Bedingung" für "notwendig und ausreichend". - für einen 3-D Raum R ^3 -> f:R ^3 -> R ^3, f(x) = x ^3 - jede reelle Zahl hat eine reelle 3. Wurzel - xy und z können ins negative verschoben werden, während ein oder 2 Argumente ansteigen können. Beispiel: 1. Ausgangslage einer Figur im 3D Raum xyz := 0 2. xy können einen anstieg von 5 Positions-Einheiten aufweisen 3. z kann nach hinten verlagert werden, so dass z negativ wird aber xy noch im positiven Bereich (5 Einheiten) positioniert sind. - entspricht eine Surjektion - für einen 2-D Raum R ^2 -> f:R ^2 -> R ^2, f(x) = x ^2 - wächst stetig oder proportional an, und entwickelt daher keine (im allgemeinen) negativen Werte, die entstehenden Werte können nicht im Ursprungsbild untergebracht werden... Beispiel: Bäckerbrot-Teig: 0. Urzustand: 1 kg 1. Stunde 2 kg 2. Stunde 4 kg 3. Stunde 6 kg ... - entspricht keine Surjektion Wie kann man sich das außerhalb der Mathematik vorstellen ? - in der Telefondatenbank/Buch stehen die Telefonnummern von Menschen mit registrierten Telefon-Ansprech-Partner... - nehmen wir mal Blacky als Ansprech-Partner... - Blacky hat die Telefonnummer (in HEX) : CAFE - A entspricht dem Telefonbuch - B die Telefonnummern - dann ist b = Blacky - dann ist a = CAFE - die Telefonnummer von Blacky - das ergibt dann f(a) = b. Zu merken sind: - bei einer Surjektion wird jedes Ziel (jeder Telefonapparat im Cafe) wird durch die Telefonnummer CAFE an Blacky durchgereicht 1 zu 1. Jetzt wird es interessant für den Stefan, weil der doch Technikfreak ist... - es gibt doch Telefonanlagen, die "eine" Nummer entgegen nehmen und dann per weiteren Tastendruck an die gewünschte stelle durch stellen, so dass Blacky garnicht mehr in sein Telefonhäusschen gebraucht wird, wenn einer seiner Gäste ein Telefonat erwartet, da jeder Gast eine andere Telefon-Nummer hat (die hinter der Hauptnummer steht)... - dann haben wir zwar im Grund das gleiche Ergebnis wie zuvor, aber da Blacky nicht wissen kann, zu welcher Zeit denn nun und aus welchen Gründen auch immer, der Telefonpartner die 3 nach der Hauptnummer wählt, um Uschi zu kontaktieren, entsteht hier eine Injektivität. - bei einer Injektivität ist also keine 1:1 Leitung mehr vorhanden, da nun mehrere Endpunkte angesprochen werden auf einer (Haupt)Leitung man spricht dann auch von 1 zu n Verbindung Aber jetzt kommts: - Blacky möchte in seinen Eifer und Neugier gerne wissen, was denn die Uschi mit Schorschel zu bereden hat, und baut eine Telefon-Schleife in seine Telefon-Analge ein, so dass er jederzeit "reinhören" kann. - dann spricht man von einer 1 zu m (m für mehrere) Verbindung... - wenn man also die beiden Szenarious zusammen legt: - Schorschel rüft Blackies Nummer (Telefonanlage) an, um Uschi zu reden - Blacky hängt sich (fast) unbemerkt in das Gespräch von Uschi und Schorschel dazu/ein - dann spricht man von Bijektivität oder Bijektion (also wenn beide: Surjektivität und Injektivität zusammen treffen). Ich hoffe, dass war jetzt nicht zu technisch geraten... aber man will ja auch guten Dienst schieben, und die MINT Fäshler berücksichtigen und mit Informationen abchecken... Mit freundlichen Grüßen Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Martin Vaeth DATE : 1 Dec 2025 17:46:34 GMT TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29635 SIZE : 3484 --------------------------------------------- Stefan Ram schrieb: > > Eigentlich wäre für mich ein Text über die in der Physik > wichtigen /Faserbündel/ passender Da solltest Du in ein geeignetes Topologiebuch schauen oder - für die wichtigste physikalische Anwendung - in ein geeignetes Buch über Differentialgeometrie. > Gleich nach den Rechtsinversen kommen . . . Schnitte und Fasern! > >|Any right inverse h of a surjection f : A --> B is called a >|/section/ of f > . . . >|We can think of A as a big "blob" consisting of the union of >|the sets f^{-1}(b) (called fibres) Jein. Das kann man zwar formal so einführen, aber für beliebige Abbildungen f ist der Begriff “Faser” für Urbilder einzelner Elemente unüblich, weil man damit üblicherweise eine geometrische oder zumindest topologische Vorstellung verbindet, die erst durch eine zusätzliche Struktur (Differentialstruktur bzw. Topologie) gegeben ist. Der Wikipedia-Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Faserb%C3%BCndel ist ganz brauchbar, wenngleich - wie erstaunlicherweise gerade in Topologie häufig - wenig anschaulich. Die Beispiele sind aber ganz gut und anschaulich. Der entscheidende Punkt in der Definition ist nicht nur die Surjektivität bzw. Bijektivität der Abbildungen sondern die *Stetigkeit* der Abbildungen bzw. Umkehrabbildungen und die Offenheit von U: Nur deswegen ergibt es einen Sinn, von einer *lokalen* Darstellung zu reden. Rein formal ist die Definition für beliebige Funktionen natürlich „richtig“, weil man ja überall diskrete Topologien betrachten kann, aber dann hat das Ganze mit der Anschauung (und der physikalischen Interpretation) schon gleich gar nichts mehr zu tun. >|When A = B, a bijection f : A --> A is called a /permutation/ of A. > > . Da hier die Funktionen nicht weiter eingeschränkt wurden, wäre > demnach auch die Quadratfunktion auf [0,1] eine "Permutation". Ja, das ist üblich. >|8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for >| every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) >| iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht > ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" > beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses > Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. Nach "there" fehlt m.E. ein "is", und ich denke, vor dem zweiten "iff" wurde ein "i.e." vergessen. „f:A->B ist surjektiv“ gdw. „Für alle b aus B gibt es a mit b=f(a)”. Und für b aus B gilt Letzteres (d.h. „Es gibt ein a mit b=f(a)“) gdw. „f^{-1}(b) != 0“. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 1 Dec 2025 18:48:08 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Wirres_M=C3=BCckengelaber_=283=29?= NUMBER: 29636 SIZE : 2007 --------------------------------------------- "Wenn nach jeder Zahl eine größere kommt, dann ist es unmöglich, alle Zahlen zu einer Menge [zusammenfassen]." (WM) Demnach gibt es in der Mückenmathik (offenbar) weder die Menge der natürlichen Zahlen, noch die Menge der Primzahlen. Cool! Sie verstehen: 2 < 3 < 5 < 7 < 11 < ... (ad infinitum). Also gibt es die Menge P = {2, 3, 5, 7, 11, ...} nicht, weil man ja die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, ... nicht zu einer Menge 'zusammenfassen' kann. Die Menge der Primzahlen ist eine SCHIMÄRE! Andererseits fasst man heutzutage (also in der axiomatische Mengenlehre ZF(C)) insbesondere unendliche Mengen nicht mehr zusammen, sondern sondert sie vielfach aus einer (unendlichen) Menge aus, so wie hier: P := {p e IN : p ist prim} , mit p ist prim :<-> p e IN & p besitzt genau 2 Teiler . . . . -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Mon, 1 Dec 2025 19:05:22 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29637 SIZE : 2994 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for > | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) > | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht > ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" > beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses > Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. Gemeint ist wohl: If A =/= {}, a function f: A --> B is surjective <=> for every b e B, there is at least one a e A such that b = f(a) <=> f^{-1}(b) =/= {} for all b e B. Ich sehe aber keinen Sinn darin, den Satz auf Funktionen mit nichtleerem Definitionsbereich (A) einzuschränken. Ich würde A function f: A --> B is surjective <=> for every b e B, there is at least one a e A such that b = f(a) <=> f^{-1}(b) =/= {} for all b e B. bevorzugen. Vgl.: https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion#Definition und: https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html (insbes. "Das Urbild einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als f^{-1}(b) := f^{-1}({b}) = {x e A | f(x) = b} und nennt es das Urbild von b unter f.") In https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html heißt es dann weiter: "Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten). Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln." Aha! . . -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Mon, 1 Dec 2025 21:29:48 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Wirres_M=C3=BCckengelaber?= NUMBER: 29638 SIZE : 3575 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 00:11 schrieb Moebius: > > "Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm > unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das nicht > gelten" (WM) > > Also erst mal, Herr Mückenheim, gilt: > > | Für jedes n ∈ ℕ gibt es unendlich viele m ∈ ℕ, so dass m > n ist. Falls ℕ eine abgeschlossene Menge ist, deren Eleemente alle gleichzeitig existieren, ist das nicht möglich. > > Hinweis: Der Begriff "erkennbares Individuum" ist in der Mathematik > nicht definiert, Das bewirkt, dass die Mengenlehre falsch ist. Man kann das aber leicht nachholen: Eine Zahl, die von allen anderen unterschieden werden kann, ist individuell definierbar. Eine Zahl, die von allen anderen unterschieden worden ist, ist individuell definiert. Für fast alle Zahlen ist dies nicht möglich. > und muss daher im Kontext der Mathematik weggelassen > werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte.* muss definiert werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte. > **) Beware of the quantifier shift! Nicht mit "E^oo m ∈ ℕ: ∀n ∈ ℕ: m > > n" velwechsern, Hier ist der Beweis dafür, dass die Menge dunkler Zahlen existiert: Die harmonische Reihe divergiert. Kempner zeigte 1914, dass, wenn alle Terme, die die Ziffer 9 enthalten, gestrichen werden, die Reihe konvergiert. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT S. 15. Das bedeutet, das die Terme mit 9 die Divergenz bewirken. Dasselbe gilt für die Entfernung der Terme mit 8. Das bedeutet, dass alle Terme, die gleichzeitig 8 und 9 enthalten, die Divergenz bewirken. Wir können dies auf die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 im Nenner erweitern. Die Divergenz der harmonischen Reihe wird also durch Terme, die alle Ziffern gleichzeitig enthalten bewirkt. Aber das ist noch nicht alles. Wir können auch die Ordinalzahl 4711 entfernen und sehen, dass alle Terme, die alle Ziffern und die Folge 4711 enthalten, die Divergenz erzeugen. Beweis: Man wähle eine Basis, die 4711 als Ziffer enthält. Das gilt selbstverständlich für jede jemals angegebene Zahl. Man wähle ein Ziffernsystem, das sie enthält. Daher wird die Divergenz durch Nenner erzeugt, die in ihrer Ziffernfolge jede jemals angegebene Zahl enthalten. Und sollten später einmal noch größere Zahlen angegeben werden, so ändert man das Ziffernsystem entsprechend ab. Dass trotzdem Divergenz besteht, ist ein Beweis für die riesige Menge dunkler Zahlen. Deine Quantorentorheiten sind damit als solche desavouiert. Gruß, WM > ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Carlos Naplos DATE : Mon, 1 Dec 2025 22:32:34 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29639 SIZE : 1792 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: > |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for > | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) > | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > Hier fehlen sozusagen Klammern, es ist mir daher nicht > ganz klar, worauf sich das "for all" und das zweite "iff" > beziehen, und so mußte ich bei der Interpretation dieses > Satzes ("surjektiv" wurde davor definiert) passen. Ich würde das so interpretieren: A != 0, f: A --> B surjective <=> for every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) <=> f^{-1}(b) != 0 for all b e B ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Mon, 1 Dec 2025 22:35:26 +0100 TEMA : Quantorheiten entlarvt NUMBER: 29640 SIZE : 3521 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 00:11 schrieb Moebius: > > "Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm > unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das nicht gelten" (WM) > > Also erst mal, Herr Mückenheim, gilt: > > | Für jedes n ∈ ℕ gibt es unendlich viele m ∈ ℕ, so dass m > n ist. Falls ℕ eine abgeschlossene Menge ist, deren Eleemente alle gleichzeitig existieren, ist das nicht möglich. > > Hinweis: Der Begriff "erkennbares Individuum" ist in der Mathematik nicht definiert, Gibt es da ein Verbot? Man kann das nämlich leicht nachholen: Eine Zahl, die von allen anderen unterschieden werden kann, ist individuell definierbar. Eine Zahl, die von allen anderen unterschieden worden ist, ist individuell definiert. Für fast alle Zahlen ist dies nicht möglich. > und muss daher im Kontext der Mathematik weggelassen werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte.* muss definiert werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte. > **) Beware of the quantifier shift! Nicht mit "E^oo m ∈ ℕ: ∀n ∈ ℕ: m > n" velwechsern, Hier ist der Beweis dafür, dass die Menge dunkler Zahlen existiert: Die harmonische Reihe divergiert. Kempner zeigte 1914, dass, wenn alle Terme, die die Ziffer 9 enthalten, gestrichen werden, die Reihe konvergiert. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/HI/HI02.PPT S. 15. Das bedeutet, das die Terme mit 9 die Divergenz bewirken. Dasselbe gilt für die Entfernung der Terme mit 8. Das bedeutet, dass alle Terme, die gleichzeitig 8 und 9 enthalten, die Divergenz bewirken. Wir können dies auf die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 im Nenner erweitern. Die Divergenz der harmonischen Reihe wird also durch Terme, die alle Ziffern gleichzeitig enthalten bewirkt. Aber das ist noch nicht alles. Wir können auch die Ordinalzahl 4711 entfernen und sehen, dass alle Terme, die alle Ziffern und die Folge 4711 enthalten, die Divergenz erzeugen. Beweis: Man wähle eine Basis, die 4711 als Ziffer enthält. Das gilt selbstverständlich für jede jemals angegebene Zahl. Man wähle ein Ziffernsystem, das sie enthält. Daher wird die Divergenz durch Nenner erzeugt, die in ihrer Ziffernfolge jede jemals angegebene Zahl enthalten. Und sollten später einmal noch größere Zahlen angegeben werden, so ändert man das Ziffernsystem entsprechend ab. Dass trotzdem Divergenz besteht, ist ein Beweis für die riesige Menge dunkler Zahlen. Deine Quantorheiten sind damit als solche desavouiert. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Carlos Naplos DATE : Mon, 1 Dec 2025 22:44:34 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29641 SIZE : 1938 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 17:18 schrieb Blacky Cat: > Am 01.12.2025 um 12:22 schrieb Stefan Ram: >> |8. If A != 0, a function f: A --> B is surjective iff for >> | every b e B, there at least one a e A such that b = f(a) >> | iff f^{-1}(b) != 0 for all b e B. > > > - auf Deutsch bedeutet das: > es gibt eine Funktion f, die IA auf IB abbildet, gilt als surjektiv > genau dann, wenn für jedes b e IB eine gleiche "äquivalente" Funktion > b = f(a) gibt Nein. Wenn es eine solche Funktion gäbe, wäre f bijektiv. f^{-1}(b) ist die *Menge* aller a aus A, deren Bild f(a) = b ist. f^{-1}(b) ist nicht leer, heißt es gibt ein a aus A mit f(a) = b. Genau dann wenn das für jedes b aus B der Fall ist, ist f surjektiv. ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Tue, 2 Dec 2025 00:30:26 +0100 TEMA : Re: Weder zerlegbar noch prim . . . NUMBER: 29642 SIZE : 2023 --------------------------------------------- Am 01.12.2025 um 19:05 schrieb Moebius: > Ich würde > > A function f: A --> B is surjective > <=> for every b e B, there is at least one a e A such that b = f(a) > <=> f^{-1}(b) =/= {} for all b e B. > > bevorzugen. Dass for every b e B, there is at least one a e A such that b = f(a) <=> f^{-1}(b) =/= {} for all b e B gilt, kann man ja leicht zeigen. Siehe: > https://www.biancahoegel.de/mathe/urbild.html (insbes. "Das Urbild > einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als f^{-1}(b) := > f^{-1}({b}) = {x e A | f(x) = b} und nennt es das Urbild von b unter f.") -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com