A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

parsed lines: 0
 
 
 
connected.
num: 29575


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 12:18:11 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {} in MK
NUMBER: 29565
SIZE  : 3512
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 11:12 schrieb Moebius:

>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>> SCHNITT {3, -3} =
>>> ???

> Die Antwort auf diese Frage hängt natürlich davon ab, wie 3 und -3 

im jeweils gegebenen Kontext
> mengentheoretisch (also in MK) definiert sind.

D. h. man kann sie "ganz allgemein" höchstens SO beantworten:

SCHNITT {3, -3} = {x : x e 3 & x e -3} .

Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- nicht drin.*)

Zu guter Letzt, noch einmal der Hinweis: Wenn f keine Funktion ist bzw. 
(falls f doch eine ist, aber) x !e Def(f) ist, dann interessiert einen 
-üblicherweise- Der konkrete "Wert" von f(x) nicht. :-)

Andersrum: Wenn f eine Funktion ist (also eine funktionale Relation), 
dann gilt (mit Kelleys Definition von f(.)) für alle x e Def(f) und alle y:

                y = f(x) <-> (x, y) e f .

Das ist "gut genug". :-)
__________________________________________________________________

*) Es gibt nämlich durchaus verschiedene Möglichkeiten, die "ganzen 
Zahlen" (Z) in einem mengentheoretischen System) zu definieren; nicht 
nur die bekannte Einteilung der "Differenzen" in Klassen. Außerdem 
könnte man sich die Frage stellen, ob in diesem Zusammenhang (RRs Frage) 
3 = {0, 1, 2} ist (wie bei den "natürlichen Zahlen" nach von Neumann), 
oder 3 e Z, wo womöglich 3 =/= {0, 1, 2} ist. usw. usf.

> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Das wird viell. klarer, wenn man "SCHNITT {3, -3}" so schreibt:
> 
>        3 n (-3) . :-P
> 
> ==================================
> ==================================
> 
> Dazu fällt mir wieder etwas im Zusammenhang mit Mückenheim ein.
> 
> DER hat ja auch Schwierigkeiten, zu verstehen, dass in einer 
> Mengenlehre, in der "die natürlichen Zahlen" nach von Neumann definiert 
> sind, gilt, dass die Menge der Anfangsabschnitte (von IN) gleich der 
> Menge der natürlichen Zahlen (IN) ist.
> 
> Dass also gilt:
> 
>          ANF = IN ,
> 
> mit ANF := {A(n) : n e IN}, A(n) := {m e IN : m < n} (n e IN)
> und IN = {0, 1, 2, 3, ...} [= {{}, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...}].
> 
> Tatsächlich ist dann der Anfangsabschnitt A(n) = n (für jede natürliche 
> Zahl n).
> 
> Im ersten Moment vielleicht etwas ungewohnt; aber auch nicht wirklich 
> ein Enigma:
> 
>         A(0) = {} = 0
>         A(1) = {0} = 1
>         A(2) = {0, 1} = 2
>         usw.
> 
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Carlo XYZ 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 12:36:28 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {} in MK
NUMBER: 29566
SIZE  : 3084
---------------------------------------------
Moebius schrieb am 15.09.25 um 12:18:
> Am 15.09.2025 um 11:12 schrieb Moebius:
> 
>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>> SCHNITT {3, -3} =
>>>> ???
> 
>> Die Antwort auf diese Frage hängt natürlich davon ab, wie 3 und -3 
> 
> im jeweils gegebenen Kontext
>> mengentheoretisch (also in MK) definiert sind.
> 
> D. h. man kann sie "ganz allgemein" höchstens SO beantworten:
> 
> SCHNITT {3, -3} = {x : x e 3 & x e -3} .
> 
> Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- nicht 
> drin.*)
> 
> Zu guter Letzt, noch einmal der Hinweis: Wenn f keine Funktion ist bzw. 
> (falls f doch eine ist, aber) x !e Def(f) ist, dann interessiert einen 
> -üblicherweise- Der konkrete "Wert" von f(x) nicht. :-)
> 
> Andersrum: Wenn f eine Funktion ist (also eine funktionale Relation), 
> dann gilt (mit Kelleys Definition von f(.)) für alle x e Def(f) und alle y:
> 
>                 y = f(x) <-> (x, y) e f .
> 
> Das ist "gut genug". :-)
> __________________________________________________________________
> 
> *) Es gibt nämlich durchaus verschiedene Möglichkeiten, die "ganzen 
> Zahlen" (Z) in einem mengentheoretischen System) zu definieren; nicht 
> nur die bekannte Einteilung der "Differenzen" in Klassen. Außerdem 
> könnte man sich die Frage stellen, ob in diesem Zusammenhang (RRs Frage) 
> 3 = {0, 1, 2} ist (wie bei den "natürlichen Zahlen" nach von Neumann), 
> oder 3 e Z, wo womöglich 3 =/= {0, 1, 2} ist. usw. usf.
> 
>> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>>
>> Das wird viell. klarer, wenn man "SCHNITT {3, -3}" so schreibt:
>>
>>        3 n (-3) . :-P

Das liest sich wie ein veritabler Eiertanz, verglichen mit
<109ujk9$2l6tt$1@dont-email.me>

Vielleicht wird dir jetzt klar, wieso ich insistiere, SCHNITT(A)
intuitiv als Operation auf einer Menge A von Mengen zu verstehen.
(Im Übrigen konsistent mit den "reinen Mengentheorien", in denen
"alles" Menge/Klasse ist.)


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 13:02:18 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {} in MK
NUMBER: 29567
SIZE  : 2286
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 12:18 schrieb Moebius:
> Am 15.09.2025 um 11:12 schrieb Moebius:
> 
>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>> SCHNITT {3, -3} =
>>>> ???
> 
>> Die Antwort auf diese Frage hängt natürlich davon ab, wie  

die Mengen

> 3 und -3 im jeweils gegebenen Kontext definiert sind.
> 
> D. h. man kann RRs Frage "ganz allgemein" höchstens SO beantworten:
> 
> SCHNITT {3, -3} = {x : x e 3 & x e -3} .
> 
> Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- nicht 
> drin.*)

Hinweis: Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- 
nicht drin.

> __________________________________________________________________
> 
> *) Es gibt nämlich durchaus verschiedene Möglichkeiten, die "ganzen 
> Zahlen" (Z) in einem mengentheoretischen System) zu definieren; nicht 
> nur die bekannte Einteilung der "Differenzen" in Klassen. Außerdem 
> könnte man sich die Frage stellen, ob in diesem Zusammenhang (RRs Frage) 
> 3 = {0, 1, 2} ist (wie bei den "natürlichen Zahlen" nach von Neumann), 
> oder 3 e Z, wo womöglich 3 =/= {0, 1, 2} ist. usw. usf.

Wie es scheint, mag die Katze keinen Fisch. Da kann man leider nichts 
machen. Gibt nur Fisch hier.

.
.



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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 13:17:57 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {a} = a
NUMBER: 29568
SIZE  : 3421
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 10:07 schrieb Moebius:

> RR hatte sich [...] für gewisse Implikationen interessiert, die sich aus 
> der Definition
> 
>                f(x) := SCHNITT {y : (x, y) e f}   (**)
> 
> für/mit (speziell)
> 
>                f := {(z, z + 1) : z e Z}          (***)
> ergeben.
> 
> Insbesondere f(0) hat ihn dabei interessiert.

Dazu kann man folgendes sagen:

> Aus der Definition (**) ergibt sich speziell mit (***) und x = 0:
> 
>                f(0) = SCHNITT {y : (ß, y) e {(z, z + 1) : z e Z}}   ,
> 
>                f(0) = SCHNITT {1} .
> 
> Daher habe ich in diesem Thread erst einmal gezeigt:
> 
>                SCHNITT {a} = a ,    für alle (Mengen) a .
> 
> Woraus sich dann speziell für a = 1 das gesuchte Ergebnis
> 
>                SCHNITT {1} = 1
> 
> ergibt. [Und daraus: f(0) = 1.]
> 
> Wie DABEI der Umstand, dass SCHNITT {{1}} = {1} ist, helfen soll, 
> ist zumindest /mir/ nicht ganz klar.

Gesucht ist ja SCHNITT {1}, also 1, nicht SCHNITT {{1}} = {1}.

Ich weiß ehrlich nicht, wo hier "das Problem" sein soll. Wie Mild Shock 
schon kurz und knapp gesagt hat:

| Der Schnitt eines Singletons ist gleich dem einen Element des Singletons.

Dass im Kontext eine "reinen Mengenlehre", wie ZFC, MK, NBG, auch die 
Zahlen 0, 1, 2, 3, ... MENGEN sind, sollte jetzt wirklich kein 
unüberwindliches Hindernis (für RR) darstellen:

> Kleiner Nachtrag noch: Sicher ist das Motto "In ZFC verything is a set" 
> auch RR bekannt (WM hat es hier mal vor einiger Zeit ventiliert). 
> Demnach ist also auch die Zahl 1 eine Menge. (Ok, Ok, der 
> mengentheoretische Kontext ist hier MK und nicht ZFC, aber in MK ist es 
> -wie in NBG- genau so.)

Und dass ein "System von Mengen" (also eine Menge/Klasse von Mengen) 
auch mal NUR EIN oder gar kein Element enthalten kann ist eigentlich so 
ziemlich allen (außer Mückenheim vielleicht) bekannt/klar.

Wenn wir also SCHNITT S betrachten, dann kann S (auch wenn man es sich 
als ein "System von Mengen" vorstellt), eben auch leer sein, oder die 
"Form" {a} besitzen (wo a eine Menge ist).

In MK haben wir also:

SCHNITT {} = V
SCHNITT {a} = a             (für alle Mengen a)
SCHNITT {a, b} = a n b      (für alle Mengen a, b)
usw.

> .
> .
> .
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 13:25:34 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {a} = a
NUMBER: 29569
SIZE  : 2126
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Am 15.09.2025 um 13:17 schrieb Moebius:

> [...] dass ein "System von Mengen" (also eine Menge/Klasse von Mengen) 
> auch mal NUR EIN oder gar kein Element enthalten kann ist eigentlich so 
> ziemlich allen (außer Mückenheim vielleicht) bekannt/klar.
> 
> Wenn wir also SCHNITT S betrachten, dann kann S (auch wenn man es sich 
> als ein "System von Mengen" vorstellt), eben auch leer sein, 

jedenfalls im Kontext von z. B. MK und/oder NBG

> oder die "Form" {a} besitzen (wo a eine Menge ist).
> 
> In MK haben wir also:
> 
> SCHNITT {} = V
> SCHNITT {a} = a             (für alle Mengen a)
> SCHNITT {a, b} = a n b      (für alle Mengen a, b)
> usw.

Dabei fällt mir ein/auf:

Man kann SCHNITT {a} = a ja auch aus dem eher "vertrauten" SCHNITT {a, 
b} = a n b herleiten. Dazu braucht man nur b = a zu setzen: {a, a} ist 
bekanntlich {a} und a n a = a. (SCHNITT {a} = a ist also nur ein 
"Spezialfall" von SCHNITT {a, b} = a n b.)

Ufff... So jetzt haben wir es wohl, oder? (Was sagt eig. RR dazu?)

.
.
.


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 13:31:32 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {} in MK
NUMBER: 29570
SIZE  : 1326
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 13:02 schrieb Moebius:
> 
> Wie es scheint, mag die Katze keinen Fisch. Da kann man leider nichts 
> machen. Gibt nur Fisch hier.

- die Katze hat den Bauch noch voll mit Fisch, den es am Sonntag gab...
- die Katze ist somit überfressen, und auskotzen will sie nicht - ist ja
   ein stubenreiner Kater !

Blacky

-- 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 13:39:36 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {} in MK
NUMBER: 29571
SIZE  : 3014
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 13:02 schrieb Moebius:
> Am 15.09.2025 um 12:18 schrieb Moebius:
>> Am 15.09.2025 um 11:12 schrieb Moebius:
>>
>>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>>> SCHNITT {3, -3} =
>>>>> ???

Weil es so ist, wie weiter unten DETAILLIERT erklärt, will ich die 
Fragestellung RRs leicht abwandeln und zwar so, dass sie TATSÄCHLICH 
(without further ado) beantwortet werden kann (wenn wir die Definition 
der natürlichen Zahlen nach von Neumann und 1 e IN, 2 e IN voraussetzen).

| SCHNITT {1, 2} = ???

In diesem Fall WEISS man (aufgrund der oben erwähnten Voraussetzung), 
dass 1 = {0} und 2 = {0, 1} ist. Demnach ist also Schnitt {1, 2} = {0} = 1.

Generell ist offenbar SCHNITT {n, m} = n für n,m e IN mit n <= m.

Nice. Also kann man (in diesem Kontext) auch definieren:

          min(n, m) = SCHNITT {n, m}    (n,m e IN).

Analog:

          max(n, m) = VEREINIGUNG {n, m}    (n,m e IN).

:-)

>>> Die Antwort auf diese Frage hängt natürlich davon ab, wie die Mengen
>> 3 und -3 im jeweils gegebenen Kontext definiert sind.
>>
>> D. h. man kann RRs Frage "ganz allgemein" höchstens SO beantworten:
>>
>> SCHNITT {3, -3} = {x : x e 3 & x e -3} .
>>
>> Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- nicht 
>> drin.*)
> 
> Hinweis: Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- 
> nicht drin.
> 
>> __________________________________________________________________
>>
>> *) Es gibt nämlich durchaus verschiedene Möglichkeiten, die "ganzen 
>> Zahlen" (Z) in einem mengentheoretischen System) zu definieren; nicht 
>> nur die bekannte Einteilung der "Differenzen" in Klassen. Außerdem 
>> könnte man sich die Frage stellen, ob in diesem Zusammenhang (RRs 
>> Frage) 3 = {0, 1, 2} ist (wie bei den "natürlichen Zahlen" nach von 
>> Neumann), oder 3 e Z, wo womöglich 3 =/= {0, 1, 2} ist. usw. usf.
> .
> .
> 
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 19:24:39 +0200
TEMA  : =?UTF-8?Q?FF_aka_Moebius_schreibt_Stuss_und_f=C3=BCllt_die_Gruppe_h?= =?UTF-8?Q?ier_mit_Garbarge?=
NUMBER: 29572
SIZE  : 4360
---------------------------------------------
Am 15.09.2025 um 13:39 schrieb Moebius:
> Am 15.09.2025 um 13:02 schrieb Moebius:
>> Am 15.09.2025 um 12:18 schrieb Moebius:
>>> Am 15.09.2025 um 11:12 schrieb Moebius:
>>>
>>>>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>>>>> SCHNITT {3, -3} =
>>>>>> ???
> 
> Weil es so ist, wie weiter unten DETAILLIERT erklärt, will ich die 
> Fragestellung RRs leicht abwandeln und zwar so, dass sie TATSÄCHLICH 
> (without further ado) beantwortet werden kann (wenn wir die Definition 
> der natürlichen Zahlen nach von Neumann und 1 e IN, 2 e IN voraussetzen).
> 
> | SCHNITT {1, 2} = ???
> 
> In diesem Fall WEISS man (aufgrund der oben erwähnten Voraussetzung), 
> dass 1 = {0} und 2 = {0, 1} ist. Demnach ist also Schnitt {1, 2} = {0} = 1.
> 
> Generell ist offenbar SCHNITT {n, m} = n für n,m e IN mit n <= m.


Generell vorm Popps (Deine Ausführungen) !

- ein  "Schnitt"     ist eine UND  - Operation !
- eine "Vereinigung" ist eine ODER - Operation !

Für die Mengen A und B ist die Schnittmenge/der Schnitt wie folgt def.:

A n B = { x | e A und x e B }.

Damit eine Schnittmenge entstehen kann, muss mindestens ein Element das
in beiden Mengen liegen. Gibt es kein gemeines Element, dann ist der
Schnitt leer: A n B = { }.

Da "die von Neumann" Objekte in IN bei 0 beginnen, und 0 kein Symbol für
die leere Menge ist, entsteht auch kein leerer Schnitt, wenn man in den
beiden Mengen A und B das Element x mit Valuta 0 hat.

Denn dann sind A n B = { 0 } - nicht leer,+

xA = 0. xB = 0.  A n B = { 0 }.

A = { 0, 1 }. B = { 1, 2 }.  <-- gleich nicht leer, 1 ist in A und B. *)
A = { 1, 2 }. B = { 3, 4 }.  <-- gleich leer **)

* ) es liegt eine Schnittmenge vor: 1.
**) es liegt "kein" Scnitt vor


> 
> Nice. Also kann man (in diesem Kontext) auch definieren:
> 
>           min(n, m) = SCHNITT {n, m}    (n,m e IN).
> 
> Analog:
> 
>           max(n, m) = VEREINIGUNG {n, m}    (n,m e IN).
> 
> :-)

jo, Deine Ausführungen sind wirklich zum ":-)" - Witzfigur halt...

min(n, m) ist kein Schnitt. min ist eine Funktion, mit der man das
Minimum zweier Objekte untersuchen kann
o = min(n, m).
wenn n < m dann o = n.
wenn m < n dann o = m,
MIN ist (so würde ich schreiben) kein Schnitt sondern eine Relation-
funktion.

max(n, m) ist keine Vereinigung. max ist eine Funktion, nit der man das
Maximum zweier Objekte untersuchen kann.
o = max(n, m).
wenn n > m dann o = n.
wenn m > n dann o = m.
MAX ist (so würde ich schreiben) keine Vereinigung sondern eine Relation
funktion.

>>>> Die Antwort auf diese Frage hängt natürlich davon ab, wie die Mengen
>>> 3 und -3 im jeweils gegebenen Kontext definiert sind.


Quackgesaberle: -3 ist nicht in IN enthalten !


>>> D. h. man kann RRs Frage "ganz allgemein" höchstens SO beantworten:
>>>
>>> SCHNITT {3, -3} = {x : x e 3 & x e -3} .
>>>
>>> Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen Kontexts- nicht 
>>> drin.*)
>>
>> Hinweis: Mehr ist -ohne genaue Kenntnis des konkret gegebenen 
>> Kontexts- nicht drin.

doch, für den Ab-ort ist das.
Wer nicht weiß, das -3 nicht innerhalb von IN vorkommt, der ähnelt einen
Trottel hoch drei - da helfen auch keine dreierlei Tropfen...

Blacky

-- 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 21:24:28 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {a} = a
NUMBER: 29573
SIZE  : 1410
---------------------------------------------
Am 14.09.2025 um 22:26 schrieb Moebius:
> 
> Beweis:
> 
> x e SCHNITT {a} <-> Ay e {a}: x e y
>                  <-> x e a.
> 
> Extensionalität ergibt: SCHNITT {a} = a. qed

ChatGPT beweist das höchst ausführlich. Aber im Gegensatz zu Kater Carlo 
hat ChatGPT keine Scheu vor der Benutzung des "bounded quantifiers".

Prompt: "Bitte beweise, dass SCHNITT {a} = a ist."

.
.
.


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Mon, 15 Sep 2025 22:02:19 +0200
TEMA  : Re: SCHNITT {a} = a
NUMBER: 29574
SIZE  : 2146
---------------------------------------------
On 15.09.2025 21:24, Moebius wrote:
> Am 14.09.2025 um 22:26 schrieb Moebius:
>>
>> Beweis:
>>
>> x e SCHNITT {a} <-> Ay e {a}: x e y
>>                  <-> x e a.
>>
>> Extensionalität ergibt: SCHNITT {a} = a. qed
> 
> ChatGPT beweist das höchst ausführlich. Aber im Gegensatz zu Kater Carlo 
> hat ChatGPT keine Scheu vor der Benutzung des "bounded quantifiers".
> 
> Prompt: "Bitte beweise, dass SCHNITT {a} = a ist."

Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4} und B = {3, 4, 5, 6}. Die 
Durchschnittsmenge A ∩ B ist dann die Menge der Elemente, die in beiden 
Mengen vorkommen: {3, 4}.
Wichtige Punkte:
Die Durchschnittsmenge enthält nur die gemeinsamen Elemente.
Sie ist das Gegenstück zur Vereinigungsmenge (∪), die alle Elemente aus 
beiden Mengen enthält.
Das Zeichen „∩“ steht für das logische „UND“ – ein Element muss also in 
der einen UND in der anderen Menge sein, um zur Schnittmenge zu gehören.

Gegeben sind die Mengen A = {1} und B = {1}. Die Durchschnittsmenge A ∩ 
B ist dann die Menge der Elemente, die in beiden Mengen vorkommen: {1}.

Gruß, WM