A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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connected.
num: 29575


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FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 00:21:13 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29565
SIZE  : 2111
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Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:

> Sagt einem ChatGPT auch, was man sich in diesem Zusammenhang unter "nach 
> unendlich vielen Schritten" vorstellen soll?

Gute Frage.

Wie es scheint, kann Dir das Carlo XYZ beantworten.

Meinen Einwand:

| "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im Nirvana?

beantwortet er wie folgt:

| Nein, beim Grenzwert.

Also wird er wohl wissen (würde man meinen), "was man sich in diesem 
Zusammenhang unter 'nach unendlich vielen Schritten' vorstellen soll". :-P

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FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 00:57:43 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29566
SIZE  : 2637
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Am 23.11.2025 um 23:21 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>>> Nirvana?
>>>
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>
> So so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei 
> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.

"Die Folge 1/n hat unendlich viele Schritte oder Glieder, danach folgt
der Grenzwert." (W. Mückenheim)

> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
> 
> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das 
> sein?
> 
> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine 
> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten" 
> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
> 
> 
> 
> .
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> 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 01:01:50 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29567
SIZE  : 4313
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Am 23.11.2025 um 23:43 schrieb Moebius:
> Am 23.11.2025 um 23:21 schrieb Moebius:
>> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
> 
> Um nicht missverstanden zu werden:
> 
> Ja, natürlich, der Grenzwert einer Folge basiert "auf den unendlich 
> vielen Termen" der Folge. Nur macht in diesem Zusammenhang der Ausdruck 
> "nach unendlich vielen Schritten" keinen (erkennbaren) Sinn.

Außer für Mückenheim (und -womöglich- Carlo XYZ und/oder joes):

"Die Folge 1/n hat unendlich viele Schritte oder Glieder, danach folgt
der Grenzwert." (W. Mückenheim)

> Wenn ich im Gegensatz zu einer (gewöhnlichen) Folge mit Indexmenge IN 
> eine Folge mit Indexmenge IN u {omega} betrachten würde, DANN hätte die 
> Redeweise von "nach allen Termen mit natürlichem Index" einen Sinn.
> 
> Z. B. könnte man die "erweiterte Folge"
> 
>         F = (1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 0)
> 
> mit Indexmenge IN u {omega} (und F(n) = 1/n für alle n e IN sowie 
> F(omega) = 0) betrachten. Dann würde der Grenzwert der (Teil)Folge (1, 
> 1/2, 1/3, 1/4, ...) tatsächlich NACH allen Termen der Folge F mit 
> natürlichem Index "folgen".
> 
> Mein Vorschlag wäre, es damit gut sein zu lassen. Ich habe keine Lust 
> meine Zeit mit Schwachsinn zu verschwenden, der letztlich auf das 
> saudumme Gelaber Mückenheims zurückgeht.
> 
> Jedenfalls habe ich in meiner Ausbildung noch nie davon gehört, dass ein 
> Grenzwert irgend etwas mit "nach unendlich vielen Schritten" zu tun hätte.
> 
> Ganz im Gegenteil muss man Mückenheim darin recht geben, dass die 
> Analysis einmal "potentialistisch" betrieben wurde, ohne Bezugnahme auf 
> "aktual unendliche" Gesamtheiten.
> 
> Diese Auffassung findet sich selbst noch bei HILBERT. (Siehe:
> David Hilbert, Über das Unendliche, 1926)
> 
>>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>>
>>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>>>> Nirvana?
>>>>
>>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>>
>> So, so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei 
>> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
>>
>> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
>>
>> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann 
>> das sein?
>>
>> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine 
>> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten" 
>> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!
>>
>> 
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FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 01:14:47 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29568
SIZE  : 2910
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Am 23.11.2025 um 23:43 schrieb Moebius:

> [...] Ganz im Gegenteil muss man Mückenheim darin recht geben, dass die 
> Analysis einmal "potentialistisch" betrieben wurde, ohne Bezugnahme auf 
> "aktual unendliche" Gesamtheiten.
> 
> Diese Auffassung findet sich selbst noch bei HILBERT:

"Will man in Kürze die neue Auffassung des Unendlichen, der Cantor 
Eingang verschafft hat, charakterisieren, so könnte man wohl sagen: in 
der Analysis haben wir es nur mit dem Unendlichkleinen und dem Un- 
endlichengroßen als Limesbegriff, als etwas Werdendem, Entstehendem, 
Erzeugtem, d. h., wie man sagt, mit dem /potentiellen Unendlichen/ zu 
tun. Aber das eigentlich Unendliche selbst ist dies nicht. Dieses haben 
wir z. В., wenn wir die Gesamtheit der Zahlen 1, 2, 3, 4, ... selbst als 
eine fertige Einheit betrachten oder die Punkte einer Strecke als eine 
Gesamtheit von Dingen ansehen, die fertig vorliegt. Diese Art des 
Unendlichen wird als /aktual unendlich/ bezeichnet." (David Hilbert, 
Über das Unendliche, 1926)

Dass inzwischen die zeitgenössische/moderne Analysis wesentlich auf der 
(axiomatischen) Mengenlehre basiert, kann man Mückenheim natürlich nicht 
vermitteln.

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FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 07:43:56 +0100
TEMA  : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29569
SIZE  : 2445
---------------------------------------------
Am 24.11.2025 um 00:07 schrieb Moebius:

> It is easy to show that a = √2 and b = log_2 9 are both irrational, and a^b = 3.

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(√2)^log_2(9) = (2^(1/2))^log_2(9) = 2^((1/2)*log_2(9)) = 
2^(log_2(9^(1/2))) = 9^(1/2) = √9 = 3.

Man muss dazu (beinahe) nur ein paar grundlegende Regeln der Potenz- und 
Logarithmusrechnung kennen (dass 9 = 3^2 und a^1 = a ist, kann auch 
hilfreich sein), insbesondere:

√a = a^(1/2) ,
(c^a)^b = c^(a*b) ,
a*log_c(b) = log_c(b^a) ,
a^log_a(b) = b .

(Die jeweils zulässigen "Bereiche" für a,b,c herauszufinden, sei dem 
Leser zur Übung überlassen.)

Dass √2 irrational ist, ist hinlänglich bekannt. Wäre log_2(9) rational, 
dann gäbe es zwei nat. Zahlen n und m mit log_2(9) = n/m. Daraus würde 
folgen: 2^(n/m) = 9 und daraus 2^n = 9^m, also 2^n = (3^2)^m = 3^(2m). 
Letzteres kann aufgrund der "Eind. der PFZ" nicht gelten.

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Moebius 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 08:51:58 +0100
TEMA  : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29570
SIZE  : 2091
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Am 23.11.2025 um 23:13 schrieb Moebius: [...]

> Das von Gentzen angegebene System des natürlichen Schließens für die 
> klassische Logik ist eng mit dem von ihm angegebenen System des 
> natürlichen Schließens für die intuitionistische Logik verwandt.*)
> 
> Lit.: https://de.wikipedia.org/wiki/ 
> Systeme_nat%C3%BCrlichen_Schlie%C3%9Fens
> ________________________________________________
> 
> *) "The base logic of constructive analysis is intuitionistic logic." 
> (Wikipedia, Constructive analysis)

"The symbolic logic of constructivism was codified by Heyting and 
Kolmogorov, who named it intuitionistic logic because of its origins in 
Brouwer's intuitionist philosophy." (Eric Schechter, Constructivism is 
Difficult)

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 13:39:27 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29571
SIZE  : 2342
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On 23.11.2025 23:12, Carlo XYZ wrote:
> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>> Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:
>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>
>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>> Nirvana?
> 
> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.

In jedem Schritt n ∈ ℕ verbleiben anerkanntermaßen unendlich viele O in 
der Matrix. Oder möchtest Du das bestreiten? Wenn im Grenzwert aber alle 
weg sind, dann sind sie nicht bei irgendeinem n verschwunden, sind also 
nicht nummeriert worden. Daher nützt der Grenzwert beim Beweisversuch 
der kompletten Nummerierung überhaupt nichts. Diesen einfachen Schluss 
sollte jeder Mathematiker nachvollziehen können. Aber auch wenn Du daran 
scheiterst und weiter am Cantortrauma leidest, so ändert das nichts an 
der Richtigkeit meines Beweises.

Gruß, WM

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : WM 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 13:45:28 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29572
SIZE  : 2312
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On 23.11.2025 23:21, Moebius wrote:
> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>>> Nirvana?
>>>
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
> 
> So so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei 
> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
> 
> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
> 
> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das 
> sein?

Nein, denn erstens erzeuge ich keinen Unsinn und zweitens kann man nach 
Cantor und auch nach Hilbert über ℕ hinaus weiterzählen. Dann erst 
gelangt man zu ω. Meinst Du etwa, schon vorher? Oder gar nicht?

Gruß, WM
> 


-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Ulrich D i e z 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 15:28:23 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29573
SIZE  : 4874
---------------------------------------------
Moebius schrieb:

> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>>
>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>>> Nirvana?
>>> 
>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
> 
> So so, der Grenzwert einer Folge "kommt" also bei Dir (so wie bei
> Mückenheim) NACH den unendlich vielen Termen der Folge.
>
> *Faszinierend*! (Ganz ohne Supertasktrauma).
> 
> Ob das eine Folge der Beschäftigung mit Mückenheims Unsinn ist? Kann das
> sein?
> 
> Aber viell. kannst Du ja ein einschlägiges Lehrbuch nennen, das Deine
> Auffassung von einem Grenzwert "der nach unendlich vielen Schritten"
> "kommt", belegt. Danke dafür im Voraus!

Auch in der Mathematik ist man ständig mit dem Problem konfrontiert, 
bewirken zu wollen, dass Kommunikationsteilnehmer sich die selben 
Vorstellungen von Gegenständen der Erkenntnis machen, die man selbst 
sich macht, und zu diesem Behufe die Vorstellungen, die man sich macht, 
in Begriffe zu zergliedern und Kommunikationsmethoden anzuwenden, bei 
denen Konventionen zur sinnlich wahrnehmbaren Darstellung von Begriffen 
zum Tragen kommen, die von den Kommunikationsteilnehmern zunächst als 
sinnliche Wahrnehmungen perzipiert und dann als Begriffsdarstellungen 
interpretiert werden, wobei bei demjenigen, der seine Vorstellungen 
vermitteln möchte, die Hoffnung besteht, dass bei den 
Kommunikationsteilnehmern das Interpretieren des Perzipierten zur 
Apperzeption derjenigen Begriffszergliederung führt, der diejenige 
Vorstellung vom Gegenstand der Erkenntnis zugrunde liegt, die er selbst 
hatte.

Vielleicht könnte man hier zunächst im Bereich der Konventionen zur 
sinnlich wahrnehmbaren Darstellung von Begriffen ansetzen und sich fragen:

Was soll man sich bei "nach einem Schritt" vorstellen? Und wo genau ist 
bei dem hier auftauchenden "nach" der Bedeutungsunterschied zu dem 
"nach" in "nach unendlich vielen Schritten"?

Angenommen, "Schritt" bedeutet einen Übergang, nämlich den Übergang vom 
Betrachten eines Folgenglieds einer Folge,
- die abzählbar unendlich viele Folgenglieder hat, von denen jedes ein
   anderes als Nachfolger hat, und
- deren Grenzwert kein Folgenglied der Folge ist,
zum Betrachten des Nachfolgers dieses Folgenglieds.
"Nach einem Schritt" bedeutet dann wohl, dass beim Betrachten so ein 
Übergang vollzogen ist.

Jeder Schritt erfolgt dann per Definitionem des Begriffs "Schritt" 
ausgehend vom Betrachten eines Folgenglieds der Folge und führt dazu, 
dass erstens nicht der Grenzwert der Folge, sondern ein weiteres 
Folgenglied der Folge betrachtet wird und dass zweitens die Bedingung 
"nach einer endlichen Anzahl an Schritten" erfüllt ist.

Wenn jeder Schritt erstens das Betrachten eines weiteren Folgenglieds 
der Folge und nicht des Grenzwertes der Folge und zweitens das 
Erfülltsein der Bedingung "nach einer endlichen Anzahl an Schritten" 
bedingt, kann dann ein Schritt dazu führen, dass auch die Bedingung 
"nach einer unendlichen Anzahl an Schritten" erfüllt ist?

Wie, wenn nicht durch Schritte, kann in diesem Betrachtungs-Szenario die 
Bedingung "nach einer unendlichen Anzahl an Schritten" erfüllt werden? 
Und kann diese Bedingung so erfüllt werden, dass ihr Erfülltsein mit dem 
Betrachten des Grenzwertes der Folge einhergeht?

Mit freundlichem Gruß

Ulrich

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Ulrich D i e z 
DATE  : Mon, 24 Nov 2025 16:08:50 +0100
TEMA  : Re: What are top ten books in set theory?
NUMBER: 29574
SIZE  : 4232
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Moebius schrieb:

> Am 23.11.2025 um 23:55 schrieb Moebius:
>> Am 23.11.2025 um 23:12 schrieb Carlo XYZ:
>>> Moebius wrote on 23.11.25 21:10:
>>>> Am 23.11.2025 um 18:15 schrieb Ulrich D i e z:
>>>>
>>>>>> Nach unendlich vielen Schritten verbleiben keine Os. (joes)
>>>>
>>>> Aua! "Nach unendlich vielen Schritten", ja wo sind wir denn dann? Im 
>>>> Nirvana?
>>>
>>> Nein, beim Grenzwert. Du leidest an einem Supertasktrauma.
>>> 
>> Red doch keinen Unsinn: Wer nicht in der Lage ist, den "Supertaskaspekt" 
>> in Mückenheims Geschwalle zu erkennen, und im Versuch Mückenheim zu 
>> "widersprechen", selbst Begrifflichkeiten, die nur im Kontext eines 
>> Supertasks Sinn machen, aufgreift, sollte einfach mal die Fresse halten.
> 
> Viell. ist es hilfreich, einfach mal etwas zum Thema zu zitieren:
> 
> "A supertask is a countably infinite sequence of operations that occur
> sequentially within a finite interval of time." (Wikipedia)

Ich übersetze "occur" mal mit "erscheinen". D.h., ich gehe mal davon 
aus, dass beide Wörter eine Vorstellung vom selben Begriff hervorrufen 
sollen. "Sequentially" übersetze ich mit "sequenziell".

Wie groß können hierbei "intervals of time" sein, während derer nur eine 
einzelne "operation" der "sequence of operations" erscheint?

Kann ein "interval of time", während dessen nur eine einzelne 
"operation" der "sequence of operations" erscheint, aus mehreren 
verschiedenen, eine zusammenhängende (endliche?) Zeitspanne bildenden 
Zeitpunkten bestehen?

Wie "groß" ist ein Zeitpunkt? Bzw., wie lange dauert ein Zeitpunkt?
Wie kommen die "Abstände" zustande, die es ermöglichen, als "interval of 
time" begriffene Zusammenstellungen an Zeitpunkten als 
Zusammenstellungen verschiedener Zeitpunkte zu begreifen?

Wie passen zeitliche Momente (einzelne Zeitpunkte oder "intervals of 
time") ins Konzept, während derer von einer der sequenziell in einem 
"finite interval of time" erscheinenden "operation" zur auf sie 
folgenden ebenfalls in diesem "finite interval of time" erscheinenden 
"operation" übergegangen wird? Und wie setzt man Beginn und Ende eines 
Übergangs an? ;-)
>> Mir scheint, dass Du "nach unendlich vielen Schritten" nicht beim 
>> Grenzwert, sondern im Sumpf gelandet bist.
Was soll man sich bei "nach einem Schritt" vorstellen?
Was soll man sich bei "nach unendlich vielen Schritten" vorstellen?
Bedeutet das "nach" in "nach einem Schritt" dasselbe wie das "nach" in 
"nach unendlich vielen Schritten"?
Falls ja: Ist die Ausdrucksweise dann hinreichend präzise?
Falls nein: Ist es erforderlich, auf den Bedeutungsunterschied 
aufmerksam zu machen? Ist es gerechtfertigt, anzunehmen, dass 
Kommunikationsteilnehmer ihn sich leicht selbst erschließen können?

Mit freundlichem Gruß

Ulrich