connected.
num: 29463
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Sun, 25 Jan 2026 23:33:00 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29453
SIZE : 5672
---------------------------------------------
Am 25.01.2026 um 23:06 schrieb Moebius:
> Wenn wir aber einmal davon ausgehen, dass es hier lediglich um das
> Festlegen der Bedeutung eines Symbols geht, hier also "ℝ", man aber den
> Begriff des "Zahlenstrahls" voraussetzen kann (und das kann man bei der
> intendierten Leserschaft Deines Buchs), dann könnte man natürlich
> hinschreiben:
>
> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls & Aq e Q: x < q v x
> = q v x > q} .
>
> Aber dann auch ganz einfach nur:
>
> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls} .
>
> Auf diese Weise würde man beim Leser ein "Verständnis" dafür wecken,
> worauf (also auf welche Menge) sich das Symbol "ℝ" bezieht.*)
>
> Ich gehe einmal davon aus, dass es Dir darum ging. Nuuuuur ... ist
> leider die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v x > q" KEIN sinnvoller
> Ersatz für "x ist ein Punkt des Zahlenstrahls".
Man kann das übrigens auch zeigen, ohne sich auf "unendliche Zahlen"
(die Du nicht betrachten möchtest) zu beziehen, Mückenheim.
Nachdem Du im Vorwort Deines Buchs, den Schöpfer der
Nonstandard-Analysis nicht nur /erwähnst/, sondern sogar /zitierst/ und
zudem seinen Ratschlag in Bezug auf /unendliche Mengen/ aufgreifst und
für Dein Buch als verbindlich erklärst, wirst Du wohl auch mit dem
Begriff der sog. "Hyperreellen Zahlen" vertraut sein. (Wenn Du AUCH DIE
nicht betrachten bzw. "gelten lassen" willst, hättest Du besser den
Schöpfer der Nonstandard-Analysis nicht im Vorwort Deines Buches erwähnt
und zitiert. :-)
"In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler
Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der
hyperreellen Zahlen wird meist als *ℝ geschrieben; sie erweitert die
reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich
große (infinite) Zahlen."
Da Du aber "infinite Zahlen" nicht magst, will ich Dir dahingehend
entgegenkommen und mich auf eine Teilmenge von *ℝ beziehen, die KEINE
solchen Zahlen enthält: {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese Menge enthält aber
gleichwohl Zahlen, die es in ℝ nicht gibt (zu reellen Zahlen
"infinitesimal benachbarte Zahlen").
Nun definieren wie die Menge ℝ´ := ℝ u {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese
Menge enthält keine "unendlichen Zahlen", aber dennoch Zahlen, die es in
ℝ nicht gibt.
Und nun AUFGEPASST: Für alle x in ℝ´ gilt: Aq e Q: x < q v x = q v x > q.
Daher ist Deine Behauptung, dass die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v
x > q" nur für x in ℝ gelten würde, falsch. Das ist auch so, wenn wir
"unendliche x" (stillschweigend) ausklammern.
Ne, Mückenheim, das mit
ℝ = {x | Aq e Q: x < q v x = q v x > q}
war wirklich "keine glückliche Idee". :-)
Letztlich landen wir wieder bei ℝ = {x e ℝ | Aq e Q: x < q v x = q v x >
q} bzw. ℝ = {x | x e ℝ}, aber viell. besser: ℝ = {x | x ist ein Punkt
der reelle Zahlengeraden}.
Vermutlich war das wohl Dein Grundgedanke:
ℝ = {x | x ist ein Punkt der reellen Zahlengeraden}.
Die "Vergleichbarkeit" von x mit allen Elementen in Q taugt - wie wir
gesehen haben - leider nicht als Kriterium.
> ____________________________________________________________________
>
> *) Das ist ja auch nicht anders, wenn man z. B. "IN = {1, 2, 3, ...}"
> hinschreibt (wie es in UNZÄHLIGEN Büchern gemacht wird). Eine echte
> "Definition" der Menge IN ist das ja auch nicht.
>
>
--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Hans Crauel
DATE : Sun, 25 Jan 2026 22:47:00 -0000 (UTC)
TEMA : Re: Umformung einer Summe
NUMBER: 29454
SIZE : 3564
---------------------------------------------
Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb
> Hans Crauel wrote:
>> Stefan Ram schrieb
>>> In einem Buch fand ich die folgende Umformung:
>>> Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^nf/dx^n) an der Stelle x0
>>> = ( Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^n/dx^n) )f(x)
>>> an der Stelle x0.
>>> Es handelt sich im wesentlichen darum, daß hier das "f" aus der
>>> Summe nach rechts ausgeklammert wurde.
>>> Wie könnte man diese Gleichheit begründen?
>>
>> Gar nicht.
>
> IBTD.
>
>> Sie trifft für beliebiges f nicht zu.
>
> Doch, das tut sie.
Die linke Seite ist im Fall, dass f nicht beliebig oft
differenzierbar ist, nur für den Fall a = 0 definiert,
ansonsten nicht (wie auch du feststellst).
Sofern die rechte Seite als Anwendung eines Operators auf f
definiert sein sollte - und das bleibt unklar - könnte
dennoch rechts etwas Definiertes stehen.
Tatsächlich hatte ich dann noch falshc a_n anstelle von a^n
gelesen und dann an a_n = (n-1)! und gedacht, was für den Fall
f(x) = exp(x) bei x = 1 links eine divergente Summe gibt, für
den Fall f(x) = exp(-1) bei x = 1 jedoch eine konvergente.
> Die Summe von Differentialoperatoren angewendet auf eine
> Funktion ist einfach so *definiert*. Seien D₁ und D₂
> Differentialoperatoren, d. h. ihre Wirkung auf eine Funktion ist
> jeweils die
> einer Ableitung dieser Funktion, dann ist *definiert*:
>
> (D₁ + D₂) f := D₁ f + D₂ f.
Für endliche Summen ist es klar, und im Fall, dass f ein
Polynom ist, ebenfalls (dann ist die Summe endlich).
Die Erweiterung dieser Schreibweise auf unendliche Summen
ist dann aber banal und nichts weiter als eine
Notationsfestlegung. Da gibt es nichts zu zeigen, da ist
rechts einfach nur eine Schreibweise, die links bedeutet.
In diesem Fall gibt es jedoch keinen Grund, das nicht für
allgemeine Koeffizienten b_n zu machen und nicht nur für
b_n = a^n/n!
> Dass die Funktion im obigen Fall beliebig oft differenzierbar
> sein muss, ist ein anderes Problem [...]
Sowas soll dann schon explizit gemacht werden und nicht
einfach ein Haufen Symbole hingepurzelt werden, aus denen
man sich dann was zusammenraten soll.
> [...] wenn sie das nicht ist, dann ist bereits die linke
> Seite der Gleichung nicht definiert, und die Frage, ob diese
> Identität gilt, stellt sich nicht.
Die rechte kann dann durchaus definiert sein, etwa indem
man den Operator so definiert, dass er in nicht beliebig
oft diffbaren Funktionen auf Null gesetzt wird.
Hans
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Thomas 'PointedEars' Lahn
DATE : Mon, 26 Jan 2026 01:04:21 +0100
TEMA : Re: Umformung einer Summe
NUMBER: 29455
SIZE : 6740
---------------------------------------------
Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:
> Hans Crauel wrote:
>> Stefan Ram schrieb
>>> In einem Buch fand ich die folgende Umformung:
>>> Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^nf/dx^n) an der Stelle x0
>>> = ( Summe von n=0 bis oo von (a^n/n!)(d^n/dx^n) )f(x) an der Stelle x0.
>>>
>>> Es handelt sich im wesentlichen darum, daß hier das "f" aus der
>>> Summe nach rechts ausgeklammert wurde.
>>>
>>> Wie könnte man diese Gleichheit begründen?
>>
>> Gar nicht.
>
> IBTD.
>
>> Sie trifft für beliebiges f nicht zu.
>
> Doch, das tut sie.
Wie gesagt: Mit der Einschränkung, dass f dergestalt ist, dass die linke
Seite überhaupt wohldefiniert ist.
> Die Summe von Differentialoperatoren angewendet auf eine Funktion ist einfach
> so *definiert*. Seien D₁ und D₂ Differentialoperatoren, d. h. ihre Wirkung
> auf eine Funktion ist jeweils die einer Ableitung dieser Funktion, dann ist
> *definiert*:
>
> (D₁ + D₂) f := D₁ f + D₂ f.
Diese Definition lässt sich jedoch *algebraisch* begründen:
(Nur?) eine (beliebig oft?) differenzierbare Funktion lässt sich als Vektor
in einer Basis darstellen, und die Wirkung eines Differentialoperators auf
diese Funktion lässt sich aufgrund seiner Linearität als Linksmultiplikation
dieses Vektors mit einer Matrix in dieser Basis darstellen.
Zum Beispiel lässt sich für Polynomfunktionen die Standardbasis
(x^0 = 1, x^1 = x, x^2, x^3, ...)
wählen, so dass sich die Funktion
f_s(x) = x^4 + 3 x^3 + 2 x^2 + x + 1
= 1 x^0 + 1 x^1 + 2 x^2 + 3 x^3 + 1 x^4
darstellen lässt als der Spaltenvektor
(1, 1, 2, 3, 1)^T.
Es gilt
[df_s/dx](x) = 4 x^3 + 9 x^2 + 4 x + 1
= 1 x^0 + 4 x^1 + 9 x^2 + 4 x^3
was sich darstellen lässt als der Spaltenvektor
(1, 4, 9, 4, 0)^T.
und im allgemeinen für
f(x) = a_0 x^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + ... + a_{n-1} x^{n-1} + a_n x^n
[df/dx](x) = a_1 x^0 + 2 a_2 x^1 + ... + (n - 1) a_{n-1} x^{n-2}
+ n a_n x^{n-1}.
Die erste Ableitung der speziellen Funktion f_s(x) ist daher eine Abbildung
(1) (1)
(1) (4)
(2) ↦ (9)
(3) (4)
(1) (0)
und im allgemeinen
(a_0) ( a_1)
(a_1) (2 a_2)
(a_2) ↦ (3 a_3).
(a_3) (4 a_4)
(⋮ ) (⋮ )
Die Abbildungsmatrix für die (erste) Ableitung in dieser Basis ist daher
allgemein
(0 1 0 0 0 ⋯ 0)
M = (0 0 2 0 0 ⋯ 0)
(0 0 0 3 0 ⋯ 0)
(0 0 0 0 4 ⋯ 0)
(⋮ ⋱ )
denn
(0 1 0 0 0 ⋯ 0) (a_0) ( a_1)
(0 0 2 0 0 ⋯ 0) (a_1) = (2 a_2).
(0 0 0 3 0 ⋯ 0) (a_2) (3 a_3)
(0 0 0 0 4 ⋯ 0) (a_3) (4 a_4)
(⋮ ⋱ ) (⋮ ) (⋮ )
[Die Abbildungsmatrix für eine gegebene Linearkombination von
Differentialoperatoren (typischerweise beinhaltete diese die
Identitätsabbildung sowie die erste und die zweite Ableitung)
zu bestimmen, war/ist eine der Lieblings-Prüfungsaufgaben meines
Professors für Lineare Algebra 8-)]
Für Matrizen A und B und einen Vektor v gilt aber
(A + B) v = A v + B v,
da falls
(a_11 a_12 ...)
A := (a_21 a_22 ...)
(a_31 ⋱ )
(⋮ ⋱ )
(b_11 b_12 ...)
B := (b_21 b_22 ...)
(b_31 ⋱ )
(⋮ ⋱ )
(v_1)
v := (v_2)
(v_3)
(⋮ )
(a_11 v_1 + a_12 v_2 + ...)
A v = (a_21 v_1 + a_22 v_2 + ...)
(a_31 v_1 + a_32 v_2 + ...)
(⋮ )
(b_11 v_1 + b_12 v_2 + ...)
B v = (b_21 v_1 + b_22 v_2 + ...),
(b_31 v_1 + b_32 v_2 + ...)
(⋮ )
also
(a_11 + b_11 a_12 + b_12 ⋯) (v_1)
(A + B) v = (a_21 + b_21 a_22 + b_22 ⋯) (v_2)
(a_31 + b_31 ⋱ ) (v_3)
(⋮ ⋱ ) (⋮ )
([a_11 + b_11] v_1 + [a_12 + b_12] v_2 + ...)
= ([a_21 + b_21] v_1 + [a_22 + b_22] v_2 + ...)
([a_31 + b_31] v_1 + ... )
(⋮ )
(a_11 v_1 + b_11 v_1 + a_12 v_2 + b_12 v_2 + ...)
= (a_21 v_1 + b_21 v_1 + a_22 v_2 + b_22 v_2 + ...)
([a_31 + b_31] v_1 + ... )
(⋮ )
(a_11 v_1 + a_12 v_2 + ... + b_11 v_1 + b_12 v_2 + ...)
= (a_21 v_1 + a_22 v_2 + ... + b_21 v_1 + b_22 v_2 + ...)
(a_31 v_1 + a_32 v_2 + ... + b_31 v_1 + b_32 v_2 + ...)
(⋮ )
(a_11 v_1 + a_12 v_2 + ...) (b_11 v_1 + b_12 v_2 + ...)
= (a_21 v_1 + a_22 v_2 + ...) + (b_21 v_1 + b_22 v_2 + ...)
(a_31 v_1 + a_32 v_2 + ...) (b_31 v_1 + b_32 v_2 + ...)
(⋮ ) (⋮ )
= A v + B v. ∎
Nicht jede Funktion lässt sich an jeder Stelle als Potenzreihe darstellen.
Funktionen, bei denen das möglich ist, lassen sich aber somit als
Polynomfunktion darstellen oder nähern. Somit gilt dann die behauptete
Identität bezüglich der Summe von Differentialoperatoren mindestens in guter
Näherung.
--
PointedEars
Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Thomas 'PointedEars' Lahn
DATE : Mon, 26 Jan 2026 01:18:54 +0100
TEMA : Re: Umformung einer Summe
NUMBER: 29456
SIZE : 3110
---------------------------------------------
Hans Crauel wrote:
> Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb
>> Die Summe von Differentialoperatoren angewendet auf eine
>> Funktion ist einfach so *definiert*. Seien D₁ und D₂
>> Differentialoperatoren, d. h. ihre Wirkung auf eine Funktion ist
>> jeweils die
>> einer Ableitung dieser Funktion, dann ist *definiert*:
>>
>> (D₁ + D₂) f := D₁ f + D₂ f.
>
> Für endliche Summen ist es klar, und im Fall, dass f ein
> Polynom ist, ebenfalls (dann ist die Summe endlich).
Auch wenn es für f eine Potenzreihendarstellung, zum Beispiel eine
Darstellung als Taylor-Reihe, gibt, die für x = x_0 nach f(x_0)
konvergiert, müsste das gelten. Siehe dazu meinen Nachtrag.
>> Dass die Funktion im obigen Fall beliebig oft differenzierbar
>> sein muss, ist ein anderes Problem [...]
>
> Sowas soll dann schon explizit gemacht werden und nicht
> einfach ein Haufen Symbole hingepurzelt werden, aus denen
> man sich dann was zusammenraten soll.
Die Tatsache, dass dort die Ableitungen von f in einer Reihendarstellung
vorkommen, interpretiere ich so, dass f beliebig oft differenzierbar
ist/sein soll. Andernfalls ist die linke Seite nicht definiert.
>> [...] wenn sie das nicht ist, dann ist bereits die linke
>> Seite der Gleichung nicht definiert, und die Frage, ob diese
>> Identität gilt, stellt sich nicht.
>
> Die rechte kann dann durchaus definiert sein, etwa indem
> man den Operator so definiert, dass er in nicht beliebig
> oft diffbaren Funktionen auf Null gesetzt wird.
Ich vermag den Unterschied zwischen
df/dx
und
(d/dx) f
nicht so recht zu erkennen; und deshalb auch nicht, weshalb sich mit der von
Dir vorgeschlagenen Definition die linke Seite von der rechten unterscheiden
sollte.
--
PointedEars
Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Stephan Gerlach
DATE : Mon, 26 Jan 2026 00:39:51 +0100
TEMA : Re: Kreuzprodukt
NUMBER: 29457
SIZE : 5720
---------------------------------------------
Martin Vaeth schrieb:
> Stephan Gerlach schrieb:
>> Martin Vaeth schrieb:
>>> Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb:
>>>> [Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist 0].
>>> Das folgt sofort aus der Antikommutativiatät a x b = -(b x a)
>>> des Kreuzprodukts und der Linearität (es genügt die Homogenität)
>>> des Kreuzprodukts in jedem Argument:
>>>
>>> Ist b = lambda a, so ist
>>> a x b = lambda (a x a) = (b x a) = -(a x b),
>>> also a x b = 0.
>> Oder (didaktisch etwas einfacher?) man folgert aus der
>> Antikommutativität erstmal nur
>> a x a = 0
>> und daraus dann a x b = 0 für parallele Vektoren a und b.
>
> Nicht nur didaktisch einfacher, auch logisch einfacher:
> Man benötigt dann nur die Homogenität in *einem* der Argumente
> des Kreuzprodukts.
>
>> Etwas schwieriger(?) ist die Umkehrung:
>> Wenn a x b = 0 ist, dann sind a und b parallel.
>> (Wobei man hier strenggenommen Trivial-Fälle wie a=0 oder b=0
>> ausschließen sollte.)
>
> Man braucht nichts auszuschließen, wenn man wie üblich vereinbart,
> dass der Nullvektor zu jedem Vektor parallel ist.
>
> Der Beweisansatz über Koordinaten zeigt Verblüffendes:
> Ist a = (a_1, a_2, a_3)^T und b = (b_1, b_2, b_3)^T,
> so bedeutet a x b = 0 ja, dass jede der Determinanten der
> drei Matrizen
> a_1 b_1 a_1 b_1 a_2 b_2
> a_2 b_2 a_3 b_3 a_3 b_3
> Null ist. Dies bedeutet aber gerade, dass die entsprechenden
> Spaltenvektoren linear voneinander sind.
>
> Das Verblüffende ist nun, dass man "praktisch" nur zwei oder
> manchmal gar nur eine dieser drei Determinantengleichungen braucht
> (also nur wissen muss, dass *zwei* bzw. *eine* der Koordinaten
> von a x b Null sind):
Zum Verständnis:
Damit ist sicher *nicht* gemeint:
"Wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind, dann sind a und b parallel"
(was so nicht stimmt).
Sondern:
"Wenn a x b = 0 ist UND wenn 2 der oben genannten Determinanten 0 sind,
dann sind a und b parallel".
> Nimmt man beispielsweise an, dass b_1 nicht 0 ist, dann folgt aus
> den ersten beiden Determinantengleichungen, dass es Skalare
> x,y gibt mit
> a_1 = xb_1 = yb_1
> a_2 = xb_2
> a_3 = yb_3
> woraus man wegen b_1 ungleich 0 zunächst x = y und dann schon die
> Parallelität von a und b erhält. Analog, wenn a_1 ungleich 0 ist.
>
> Die dritte Determinantengleichung braucht man also tatsächlich
> nur für den Fall a_1 = b_1 = 0; aber für diesen Fall braucht man
> sie freilich, und in diesem Fall dann aber *nur* diese eine
> Gleichung.
>
> Entsprechend kann man verfahren, wenn man die erste Koodinate
> durch die zweite oder dritte ersetzt.
>
> Setzt man also etwa a-priori voraus, dass nicht die selben Einträge
> von a und b beide 0 sind, so folgt bereits aus der Tatsache, dass
> nur zwei beliebige Einträge von a x b Null sind, dass a und b
> parallel sind (und daher sogar a x b = 0 sein muss).
> Und wenn man aber umgekehrt aber a-priori voraussetzt, dass die
> selben Einträge von a und b beide 0 sind, so folgt a x b = 0
> bereits aus der Tatsache, dass nur eine einzige Koordinate von
> a x b Null ist (welche Koordinate Null sein muss, hängt davon ab,
> welche der Einträge von a und b a-priori als 0 angenommen werden).
Das klingt so plausibel.
"Koordinatenfrei" läßt sich die Umkehrung
a x b = 0 ==> a und b sind parallel
offenbar nicht einfach aus den Rechenregeln von a x b beweisen.
Man könnte über die Flächen-Eigenschaft gehen; allerdings ist das nur
eine Verlagerung der Schwierigkeit, da dann erst diese
Flächen-Eigenschaft bewiesen werden müßte.
--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Mon, 26 Jan 2026 04:30:02 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29458
SIZE : 6332
---------------------------------------------
Am 25.01.2026 um 23:33 schrieb Moebius:
> Am 25.01.2026 um 23:06 schrieb Moebius:
>
>> Wenn wir aber einmal davon ausgehen, dass es hier lediglich um das
>> Festlegen der Bedeutung eines Symbols geht, hier also "ℝ", man aber
>> den Begriff des "Zahlenstrahls" voraussetzen kann (und das kann man
>> bei der intendierten Leserschaft Deines Buchs), dann könnte man
>> natürlich hinschreiben:
>>
>> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls & Aq e Q: x < q v
>> x = q v x > q} .
>>
>> Aber dann auch ganz einfach nur:
>>
>> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls} .
>>
>> Auf diese Weise würde man beim Leser ein "Verständnis" dafür wecken,
>> worauf (also auf welche Menge) sich das Symbol "ℝ" bezieht.*)
>>
>> Ich gehe einmal davon aus, dass es Dir darum ging. Nuuuuur ... ist
>> leider die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v x > q" KEIN sinnvoller
>> Ersatz für "x ist ein Punkt des Zahlenstrahls".
>
> Man kann das übrigens auch zeigen, ohne sich auf "unendliche Zahlen"
> (die Du nicht betrachten möchtest) zu beziehen, Mückenheim.
>
> Nachdem Du im Vorwort Deines Buchs, den Schöpfer der Nonstandard-
> Analysis nicht nur /erwähnst/, sondern sogar /zitierst/ und zudem seinen
> Ratschlag in Bezug auf /unendliche Mengen/ aufgreifst und für Dein Buch
> als verbindlich erklärst, wirst Du wohl auch mit dem Begriff der sog.
> "Hyperreellen Zahlen" vertraut sein. (Wenn Du AUCH DIE nicht betrachten
> bzw. "gelten lassen" willst, hättest Du besser den Schöpfer der
> Nonstandard-Analysis nicht im Vorwort Deines Buches erwähnt und
> zitiert. :-)
>
> "In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler
> Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der
> hyperreellen Zahlen wird meist als *ℝ geschrieben; sie erweitert die
> reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich
> große (infinite) Zahlen."
>
> Da Du aber "infinite Zahlen" nicht magst, will ich Dir dahingehend
> entgegenkommen und mich auf eine Teilmenge von *ℝ beziehen, die KEINE
> solchen Zahlen enthält: {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese Menge enthält aber
> gleichwohl Zahlen, die es in ℝ nicht gibt (zu reellen Zahlen
> "infinitesimal benachbarte Zahlen").
>
> Nun definieren wie die Menge ℝ´ := ℝ u {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese
> Menge enthält keine "unendlichen Zahlen", aber dennoch Zahlen, die es in
> ℝ nicht gibt.
>
> Und nun AUFGEPASST: Für alle x in ℝ´ gilt: Aq e Q: x < q v x = q v x > q.
>
> Daher ist Deine Behauptung, dass die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v
> x > q" nur für x in ℝ gelten würde, falsch. Das ist auch so, wenn wir
> "unendliche x" (stillschweigend) ausklammern.
>
> Ne, Mückenheim, das mit
>
> ℝ = {x | Aq e Q: x < q v x = q v x > q}
>
> war wirklich "keine glückliche Idee". :-)
Um es noch einmal zusammenzufassen (auch wenn Du zu blöde und zu doof
bist, um es zu verstehen):
Es gibt mindesten 2 (relevante) Erweiterungen der reellen Zahlen, für
deren Elemente
Aq e Q: x < q v x = q v x > q
gilt. DAHER ist es _falsch_, dass nur reelle Zahlen "diese Bedingung"
erfüllen.
Nur der GRÖMAZ kann auf die dumme Idee kommen "ℝ" so definieren zu
wollen. Aber "ausreden" kann man ihm es natürlich nicht. :-)
> Letztlich landen wir wieder bei ℝ = {x e ℝ | Aq e Q: x < q v x = q v x >
> q} bzw. ℝ = {x | x e ℝ}, aber viell. besser: ℝ = {x | x ist ein Punkt
> der reelle Zahlengeraden}.
>
> Vermutlich war das wohl Dein Grundgedanke:
>
> ℝ = {x | x ist ein Punkt der reellen Zahlengeraden}.
>
> Die "Vergleichbarkeit" von x mit allen Elementen in Q taugt - wie wir
> gesehen haben - leider nicht als Kriterium.
>
>> ____________________________________________________________________
>>
>> *) Das ist ja auch nicht anders, wenn man z. B. "IN = {1, 2, 3, ...}"
>> hinschreibt (wie es in UNZÄHLIGEN Büchern gemacht wird). Eine echte
>> "Definition" der Menge IN ist das ja auch nicht.
>>
>>
>
>
--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : Moebius
DATE : Mon, 26 Jan 2026 04:38:28 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29459
SIZE : 6968
---------------------------------------------
Am 26.01.2026 um 04:30 schrieb Moebius:
> Am 25.01.2026 um 23:33 schrieb Moebius:
>> Am 25.01.2026 um 23:06 schrieb Moebius:
>>>
>>> Wenn wir aber einmal davon ausgehen, dass es hier lediglich um das
>>> Festlegen der Bedeutung eines Symbols geht, hier also "ℝ", man aber
>>> den Begriff des "Zahlenstrahls" voraussetzen kann (und das kann man
>>> bei der intendierten Leserschaft Deines Buchs), dann könnte man
>>> natürlich hinschreiben:
>>>
>>> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls & Aq e Q: x < q v
>>> x = q v x > q} .
>>>
>>> Aber dann auch ganz einfach nur:
>>>
>>> ℝ = {x | x ist ein Punkt des Zahlenstrahls} .
>>>
>>> Auf diese Weise würde man beim Leser ein "Verständnis" dafür wecken,
>>> worauf (also auf welche Menge) sich das Symbol "ℝ" bezieht.*)
>>>
>>> Ich gehe einmal davon aus, dass es Dir darum ging. Nuuuuur ... ist
>>> leider die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q v x > q" KEIN sinnvoller
>>> Ersatz für "x ist ein Punkt des Zahlenstrahls".
>>>
>> Man kann das übrigens auch zeigen, ohne sich auf "unendliche Zahlen"
>> (die Du nicht betrachten möchtest) zu beziehen, Mückenheim.
>>
>> Nachdem Du im Vorwort Deines Buchs, den Schöpfer der Nonstandard-
>> Analysis nicht nur /erwähnst/, sondern sogar /zitierst/ und zudem
>> seinen Ratschlag in Bezug auf /unendliche Mengen/ aufgreifst und für
>> Dein Buch als verbindlich erklärst, wirst Du wohl auch mit dem Begriff
>> der sog. "Hyperreellen Zahlen" vertraut sein. (Wenn Du AUCH DIE nicht
>> betrachten bzw. "gelten lassen" willst, hättest Du besser den Schöpfer
>> der Nonstandard-Analysis nicht im Vorwort Deines Buches erwähnt und
>> zitiert. :-)
>>
>> "In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler
>> Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der
>> hyperreellen Zahlen wird meist als *ℝ geschrieben; sie erweitert die
>> reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich
>> große (infinite) Zahlen."
>>
>> Da Du aber "infinite Zahlen" nicht magst, will ich Dir dahingehend
>> entgegenkommen und mich auf eine Teilmenge von *ℝ beziehen, die KEINE
>> solchen Zahlen enthält: {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese Menge enthält
>> aber gleichwohl Zahlen, die es in ℝ nicht gibt (zu reellen Zahlen
>> "infinitesimal benachbarte Zahlen").
>>
>> Nun definieren wie die Menge ℝ´ := ℝ u {x e *ℝ | 0 <= x <= 1}. Diese
>> Menge enthält keine "unendlichen Zahlen", aber dennoch Zahlen, die es
>> in ℝ nicht gibt.
>>
>> Und nun AUFGEPASST: Für alle x in ℝ´ gilt: Aq e Q: x < q v x = q v x > q.
>>
>> Daher ist Deine Behauptung, dass die Bedingung "Aq e Q: x < q v x = q
>> v x > q" nur für x in ℝ gelten würde, falsch. Das ist auch so, wenn
>> wir "unendliche x" (stillschweigend) ausklammern.
>>
>> Ne, Mückenheim, das mit
>>
>> ℝ = {x | Aq e Q: x < q v x = q v x > q}
>>
>> war wirklich "keine glückliche Idee". :-)
>>
> Um es noch einmal zusammenzufassen (auch wenn Du zu blöde und zu doof
> bist, um es zu verstehen):
>
> Es gibt mindesten 2 (relevante) Erweiterungen der reellen Zahlen, für
> deren Elemente
>
> Aq e Q: x < q v x = q v x > q
>
> gilt. DAHER ist es _falsch_, dass nur reelle Zahlen "diese Bedingung"
> erfüllen.
>
> Nur der GRÖMAZ kann auf die dumme Idee kommen "ℝ" so definieren zu
> wollen. Aber "ausreden" kann man ihm es natürlich nicht. :-)
Ich frage mich, ob es überhaupt _irgend jemanden_ AUSSER WM SELBST gibt,
der diese "Definition" für korrekt, akzeptabel und/oder sinnvoll hält.*)
In dieser NG hat sich jedenfalls noch nie jemand "wohlwollend" in Bezug
auf diese "Definition" geäußert.
_________________________________________________________________________
*) Die gleiche Frage stelle ich mir in Bezug auf Mückenheims berühmten
""Beweis"" dafür, dass die rationalen Zahlen nicht abzählbar unendlich
sind. :-)
>> Letztlich landen wir wieder bei ℝ = {x e ℝ | Aq e Q: x < q v x = q v x
>> > q} bzw. ℝ = {x | x e ℝ}, aber viell. besser: ℝ = {x | x ist ein
>> Punkt der reelle Zahlengeraden}.
>>
>> Vermutlich war das wohl Dein Grundgedanke:
>>
>> ℝ = {x | x ist ein Punkt der reellen Zahlengeraden}.
>>
>> Die "Vergleichbarkeit" von x mit allen Elementen in Q taugt - wie wir
>> gesehen haben - leider nicht als Kriterium.
>>
>>> ____________________________________________________________________
>>>
>>> *) Das ist ja auch nicht anders, wenn man z. B. "IN = {1, 2, 3, ...}"
>>> hinschreibt (wie es in UNZÄHLIGEN Büchern gemacht wird). Eine echte
>>> "Definition" der Menge IN ist das ja auch nicht.
--
Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft.
www.avast.com
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Mon, 26 Jan 2026 14:46:16 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29460
SIZE : 3411
---------------------------------------------
Am 25.01.2026 um 23:06 schrieb Moebius:
> Nun hören wir von Dir, dass Du offenbar "unendliche" Zahlen nicht
> zulassen willst. NUR sieht man das der Bedingung
>
> Aq e Q: x < q v x = q v x > q
>
> nicht an.
Man sieht es der klassischen Mathematik an, die ich unterrichtet habe.
Aber das ist ja nicht wirklich wichtig, im Gegensatz zur Revolution der
Zahlentheorie: Es gibt dunkle Zahlen. Stimmst Du da inzwischen zu?
Da Du nicht auf meine Erklärung antwortetest, ist das wohl der Fall.
Ich betrachte die vollständige Folge Cantors, nicht mehr und nicht
weniger. Lediglich jedes Glied ist als Matrix codiert. Wenn also Cantors
Folge existiert, dann existiert auch meine Folge. Der einzige
Unterschied zu Cantor besteht darin, dass bei mir auch die bis zu jedem
Folgenglied nicht indizierten Brüche angegeben werden.
Das ist keine Supertask. Schön, dass Du Dir ausführlich Gedanken gemacht
hast. Sie gehen aber fehl. Wir haben eine Bijektion zwischen der Folge
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
5/1, 1/6, 2/5, 3/4, ... und meinen Matrizen, nichts weiter.
Würdest Du die Folge
M_1/1, M_1/2, M_2/1, M_1/3, M_2/2, M_3/1, M_1/4, ...
auch als eine Supertask bezeichnen?
Aber, wenn Du noch Zeit hast, erkläre bitte, wie Dedekind alle
algebraischen Zahlen ohne Supertask abzählt, indiziert oder nummeriert.
Nach eigenen Worten tat Cantor es ihm gleich. Beide verblendet?
Gruß, WM
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Mon, 26 Jan 2026 14:55:03 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29461
SIZE : 3842
---------------------------------------------
Am 25.01.2026 um 23:33 schrieb Moebius:
> Nachdem Du im Vorwort Deines Buchs, den Schöpfer der Nonstandard-
> Analysis nicht nur /erwähnst/, sondern sogar /zitierst/ und zudem seinen
> Ratschlag in Bezug auf /unendliche Mengen/
Unendliche Mengen endlicher Zahlen.
> aufgreifst und für Dein Buch
> als verbindlich erklärst, wirst Du wohl auch mit dem Begriff der sog.
> "Hyperreellen Zahlen" vertraut sein. (Wenn Du AUCH DIE nicht betrachten
> bzw. "gelten lassen" willst, hättest Du besser den Schöpfer der
> Nonstandard-Analysis nicht im Vorwort Deines Buches erwähnt und
> zitiert. :-)
Ich habe Robinsons sehr vernünftige Aussage zitiert. Was er sonst noch
gemacht hat, ist für die ersten Semester irrelevant. Grundsatz meiner
Vorlesungen für die ersten Semester: Was zwischen zwei rationalen Zahlen
liegt, ist reell. Und mehr bedarfs nicht.
Aber das alles ist doch längst nicht so interessant wie die dunklen
Zahlen. Ich betrachte die vollständige Folge Cantors, nicht mehr und
nicht weniger. Lediglich jedes Glied ist als Matrix codiert. Wenn also
Cantors Folge existiert, dann existiert auch meine Folge. Der einzige
Unterschied zu Cantor besteht darin, dass bei mir auch die bis zu jedem
Folgenglied nicht indizierten Brüche angegeben werden.
Das ist keine Supertask. Schön, dass Du Dir ausführlich Gedanken gemacht
hast. Sie gehen aber fehl. Wir haben eine Bijektion zwischen der Folge
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,
5/1, 1/6, 2/5, 3/4, ... und meinen Matrizen, nichts weiter.
Würdest Du die Folge
M_1/1, M_1/2, M_2/1, M_1/3, M_2/2, M_3/1, M_1/4, ...
auch als eine Supertask bezeichnen?
Aber, wenn Du noch Zeit hast, erkläre bitte, wie Dedekind alle
algebraischen Zahlen ohne Supertask abzählt, indiziert oder nummeriert.
Nach eigenen Worten tat Cantor es ihm gleich. Beide verblendet?
Gruß, WM
-------------------------
GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM : wm
DATE : Mon, 26 Jan 2026 14:59:29 +0100
TEMA : Re: Definition der reellen Zahlen
NUMBER: 29462
SIZE : 2952
---------------------------------------------
Am 26.01.2026 um 04:38 schrieb Moebius:
> Ich frage mich, ob es überhaupt _irgend jemanden_ AUSSER WM SELBST gibt,
> der diese "Definition" für korrekt, akzeptabel und/oder sinnvoll hält.*)
>
> In dieser NG hat sich jedenfalls noch nie jemand "wohlwollend" in Bezug
> auf diese "Definition" geäußert.
Das wirft ein bezeichnendes Licht auf diese NG.
> _________________________________________________________________________
>
> *) Die gleiche Frage stelle ich mir in Bezug auf Mückenheims berühmten
> ""Beweis"" dafür, dass die rationalen Zahlen nicht abzählbar unendlich
> sind. :-)
Bitte beantworte sie auch angesichts des Scheoiterns Deiner fixen
Supertask-Idee.
Würdest Du die Folge
M_1/1, M_1/2, M_2/1, M_1/3, M_2/2, M_3/1, M_1/4, ...
auch als eine Supertask bezeichnen?
Aber, wenn Du noch Zeit hast, erkläre bitte, wie Dedekind alle
algebraischen Zahlen ohne Supertask abzählt, indiziert oder nummeriert.
Nach eigenen Worten tat Cantor es ihm gleich. Beide verblendet?
Gruß, WM