A Example: $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 29539
------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Sat, 27 Dec 2025 11:51:11 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?= NUMBER: 29529 SIZE : 10268 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 21:48 schrieb Martin Vaeth: > Das ist auch das einzig Sinnvolle: Eine Summe ist induktiv definiert; > nur bei endlich vielen Summanden kann man also überhaupt von einer > Summe sprechen. - auch für endliche kann man nicht von Summe reden - von Summe redet man in der Algebra, nicht in der Mengenlehre-Beschaung da in der Mengenlehre nicht addiert oder multipliziert wird - es werden hier Relationen aufgestellt, die Grundlage hier bilden die Ordinale Elemente von IN - Ordinale sind als "Ordnungs"-Positions-Zahlen zu verstehen, die nach links und rechts verlaufen können - mit links meine ich auch die negativen e IR - mir rechts meune ich auch due positiven e IR - wobei IN echte Teilmenge von IR ist - Cantor betrachtete bei seinen Arbeiten aber nur die positiven e IR, da Ausführungen und Darlegungen auch der negativen e IR nur zu un-nötigen Zeit- und Schreibbalast führen sollte - versteht ja jeder, der in die Materue hier eingeweiht ist... - die Elemente e von IN sind "nicht" endlich und reichen von 0 bis oo wobei gilt, das jedes Zeichen/Symbol (0, 1, 2, ..., 10, 1000, ..., oo) ein Individium ist - jedes Individium hat andere Eigenschaften - was ich in einen älteren Artikel mit den Container-Box'en versucht habe, angedeuteten - jedes dieser Individuien läuft dann unter den Namen IN oder IR, hat aber andere Eigenschaften als sein Vorgänger oder Nachfolger - wie groß die Menge von IN oder IR ist wird mit einen Kardinal(Symbol) ausgeschildert. Für die Menge der IN ist dieses Kardinal "aleph_0". - Kardinale geben die "Mächtigkeit" von Mengen an (hier kann man schon heraus lesen, das es unendliche Mengen mit verschiedenen Kardinali- däten gibt, dazu später mehr) - aleph_0 ist die "erste" Mächtigkeit der Menge IN - die Mächtigkeit entspricht der Anzahl der Elemente in einer Menge - die Mächtigkeit entspricht "nicht" den wertmäßigen Betrag eines oder mehreren Elemente - obwohl man mit der Betrachtung von oo-Mengen nicht mehr wie in der Algebra bekannt "rechnet" im Sinne von add, sub, mul, div, ... können im engeren Sinne die Positionen (Ordinale) zusammen gezählt werden. - hierbei muss man dann unterscheiden zwischen: "abzählbar" und "über- abzählbar" unendlich - abzählbar unendlich wäre zum Beispiel: ... 2 + oo = oo. oder: 1 + oo = oo. oder: 0 + oo = oo. - abzählbar unendlich erkennt man so, dass man in einen System (hier die ersten k mit 2 bis 0) sich bewegt/bleibt - deshalb kann man von verschiedenen menschlichen Personen auch lesen: "... erkennt man an die ersten k ..." - abzählbar unendliche Mengen werden auch als "abgeschlossen" bezeichnet - abgeschlossen im Sinne von: * alle Elemente sin vorhanden * die "abgeschlossene" Menge kann aber durchaus "erweitert" werden * hübsches Beispiel hierfür ist das Hilbert-Hotel, bei dem alle Gäste ein Zimmer weiter gehen, um Platz für den nächsten Gast zu Schaffen + das Hilbert-Hotel ist ein gedankliches Konstrukt und verhält sich wie in der freien (existensiellen) Natur wie eine Blume die jedes Jahr größer wird: 1. Jahr: \___/ | 2. Jahr: \__ __/ \___/ | 3. Jahr: \__ __/ \__ __/ \___/ | + beim Hilbert Hotel muss man sich das Wachstum der Blume bzw. die "Erweiterung" der Hotel-Räume nur anders herum vorstellen - also quasi Seitenverkehrt. + die hinzu kommenden Gäste "schieben" sich quasi zwischen den schon vorhandenen, so dass der erste Gast immer weiter nach unten (oder nach hinten "geschoben" wird, während die neuen Gäste sich weiter im Vordergrund befinden, das Hotel aber niemals größer wird. Das klingt vieleicht etwas verückt - aber wer hat denn schon geschrie- ben das es leicht wäre, Mathe zu studieren :-) * die abgeschlossene Menge wird auch "aktual abgeschlossene Menge" be- zeichnet * das "aktual" kommt von folgendes her/liegt folgenden zu Grund: - dem Zeitpunkt der Betrachtung, - dem Betrachter selbst, und - dem "aktuellen" Zustand der betrachteten Mächtigkeit + letzteres ist sehr wichtig für/in Informatisntechnische Unterbe- reiche der Mathematik - als Zustands-Maschiene (State-Machine) bei der unendlich laufende Arbeitsaufträge entdeckt und abgearbeitet werden (können) + jeder Betrachter siehr etwas anderes: - die Art wie eine Menge beschaffen ist ist abhängig vom Betrach- ter: denn jeder kennt das Sprichwort: "schauen zwei Personen aus dem Fenster, jeder von ihnen sieht etwas anderes." + und der Zeitpunkt kann in der Vergangenheit, Jetzt oder aber auch in der Zukunft liegen, weil Menschen ja in einen liniearen System leben, das mit der Geburt anfängt und mir dem Tod endet. - überabzählbar unendlich wäre zum Beispiel: ... oo + 2 = oo_2 oo + 1 = oo_1 oo + 0 = oo_0 ... * beim überabzählen einer Menge wird das System verlassen, in dem man seine Beobachtung gemacht hat - zum Beispiel auch beim Erkenntnis- gewinn. Computerspieler können das vergleichen: mit dem betretten des nächsten Levels. * Es wird ein neues System aufgebaut + was nicht heißen soll dass das betrettende Gebiet neu sein muss. Es kann bereits bestehen und ein Schüler/Student bekommt neue Ein- blicke, die ein anderer Student bereits erfahren konnte + deshalb ist es ja auch sehr wichtig, sich Leute um sich zu schaf- fen, mit denen man während und nach dem Studium Gebiete gemeinsam erschließen kann, ohne dabei immer von vorne zu beginnen. Dies ist auch ein Grund, warum ich diesen Artikel schreiben: - nicht nur für mich, - sondern auch für andere + sollten Fehler entahlten sein bin ich Allen dankbar auf Korrektion - viele, die mit der Mengenlehre nicht so vertraut sind würden nun sagen dass die Klasse der IN unendlich groß ist ohne dabei zu ahnen, das es durchaus Unter-Klassen von Mengen gibt, die in ihrer Kardinalität sehr unterschiedlich sein können - was auch Gregor Cantor schon mit seinen erarbeiteten Gebiet der "transfiniten Objekten" beweisen hat können. - mit transfiniten Objekten ist man in der Lage unendliche Mengen zusam- men zu ordnen und zu vergleichen. - um mathematisch transfinite Objekte zu verstehen, müssen wir ganz nach hinten gehen: * wir erinnern uns: aleph_0 ist die erste Kardinalität von IN * Kardinalitäten können auch Ordinale sein, sprich, wir können die unterschiedlichen Größen der unendlichen Mengen sortieren, ordnen und vergleichen - ja das geht sogar sehr gut. * diese Kardinal(Symbole) werden mit griechischen Buchstaben gesch- rieben (ich habe hier bewusst darauf verzichtet, da der Textfluß besser zu lesen ist, wenn ich die Symbole nicht als Grafik, sondern als Wort aufschreibe. * alpha_0 ist also der Anfang und zugleich das Ende der IN 1. Ordnung * dann würde beta_0, gamma_0, etc... folgen * die kleinste Kardinalität nach alpha ist omega - geschrieben mit w * w ist das größte Objekt als ALLER Objekte von IN bzw. IN selbst * w stellt somit das letzte und größte IN dar - wer aber denkt, danach kommt nichts mehr, der denkt nicht richtig - w kann mit weiteren unendlichen Mengen "erweitert" werden: --- w * 2 = 0 <-- Sprung [1] w * 1 = 3 w * 1 = 2 w * 1 = 1 w * 1 = 0 <-- Sprung [1] w * 0 = 3 w * 0 = 2 w * 0 = 1 w * 0 = 0 <-- Sprung [1] ... - [1] ein Sprung kann als "Übergang" angesehen werden, bei dem man das vorher gehende System verläst und in den Vorgänger "springt" - dieser "Übergang" wird gerne als "Grenzwert" bezeicht und dieser Grenzwert ist wiederum wichtig in der Informations-Technologie und beim beweisen von allerlei Algorythmen - wenn man so pingelich sein wollte, müsste man das obige Schaubild anders darstellen, was aber in reiner Textform verwirren kann: --- 1 + w = w_0. w_0 * 1 = w_1_0 <-- Sprung [1] 3 + w = w_0. w_0 * 3 = w_1_3 2 + w = w_0. w_0 * 2 = w_1_2 1 + w = w_0. w_0 * 1 = w_1_1 0 + w = w_0. w_0 * 0 = w_1_0 <-- Sprung [1] ... - wie man sehen kann sind "Grenzwerte" sehr wichtig in der modernen IT, da sonst Rechenmaschienen laufen würden, und nie zu einen Ergebnis führen würden So erstmal Mittag machen... Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Sat, 27 Dec 2025 13:23:11 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?= NUMBER: 29530 SIZE : 2297 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 19:18 schrieb Ulrich D i e z: > wm schrieb: > >> Am 25.12.2025 um 21:17 schrieb Blacky Cat: >>> Am 25.12.2025 um 20:14 schrieb wm: >>>> die Summe aller >>>> natürlichen Zahlen, ist jedenfalls größer als 1. >>> >>> die Summe "aller" natürlichen Zahlen ist "nicht" nach oben begrenzt, > > Für k gegen unendlich divergiert die Folge der Summen der ersten k > natürlichen Zahlen. > > Ich formuliere es so, um den Begriff "Summe" nur auf Fälle anzuwenden, > bei denen die sich ergebende Summe eine reelle, finite Zahl darstellt. > >> aber nach unten. Die Summe unterscheidet sich von jeder nennbaren >> natürlichen Zahl, indem sie größer ist. Sie ist also eine dunkle Zahl. > > Warum "dunkel"? Wie ist es mit "transfinit"? > Sie ist transfinit. Aber transfinite Zahlen sind auch dunkel, denn sie sind nicht durch einen endlichen Anfangsabschnitt mit dem Ursprung 0 verbunden. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Sat, 27 Dec 2025 13:25:41 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_News_for_M=C3=BCckenheim?= NUMBER: 29531 SIZE : 1193 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 20:29 schrieb Moebius: > "All branches of mathematics are developed, consciously or > unconsciously, in set theory or in some part of it." Und alle guten Menschen sind woke. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sat, 27 Dec 2025 19:32:09 +0100 TEMA : Re: Heute vor 25 Jahren NUMBER: 29532 SIZE : 3581 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 23:20 schrieb Moebius: > Am 24.12.2025 um 17:53 schrieb Stefan Ram: >> Heute [2025-12-25] vor 25 Jahren [2000-12-25]: >> >> Willard Van Orman Quine stirbt. >> >> Quine leistete mit seine Arbeiten zu Logik und Mengenlehre >> Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik. Mit seinen Axiomen >> "new foundations" versuchte er, eine Mengenlehre aufzubauen, >> die bekannte Paradoxien vermeidet. > > Aus meiner Sicht ist NF so nahe dran an einer "naiven Mengenlehre", wie > es eine Mengenlehre, die die bekannten Paradoxien (offenbar) vermeidet, > nur sein kann. > > Tatsächlich besteht sie aus genau 2 Axiomen (bzw. Axiomenschemata): > > Extensionality: AxAy(Az(z e x <-> z e y) -> x = y) > > Restricted Comprehension: ExAy(y e x <-> Phi[y]) , > > wobei Phi[.] gewissen Bedingungen gehorchen muss. Es ist klar, dass hier > nicht JEDE Formel zugelassen sein kann, weil z. B. "y !e y" sofort auf > die Russellsche Antinomie führen würde, aber "y = y" ist z. B. zulässig > (was bedeutet, dass es in NF eine "Allmenge" gibt). Es hat schon was, eine Menge zu haben, die ALLE Mengen (also auch sich selbst) als Elemente enthält. Lit.: T. E. Foster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe Abstract: "Set theory is concerned with the foundation of mathematics. In the original formulations of set theory, there were paradoxes contained in the idea of the "set of all sets". Current standard theory (Zermelo-Fraenkel) avoids these paradoxes by restricting the way sets may be formed by other sets, specifically to disallow the possibility of forming the set of all sets. In the 1930s, Quine proposed a different form of set theory in which the set of all sets - the universal set - is allowed, but other restrictions are placed on these axioms. Since then, the steady interest expressed in these non-standard set theories has been boosted by their relevance to computer science. The second edition still concentrates largely on Quine's New Foundations, reflecting the author's belief that this provides the richest and most mysterious of the various systems dealing with set theories with a universal set." Wen's interessiert: https://randall-holmes.github.io/Bibliography/setbiblio.html -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sat, 27 Dec 2025 20:57:17 +0100 TEMA : Re: Heute vor 25 Jahren NUMBER: 29533 SIZE : 3889 --------------------------------------------- Am 27.12.2025 um 19:32 schrieb Moebius: > Am 26.12.2025 um 23:20 schrieb Moebius: >> Am 24.12.2025 um 17:53 schrieb Stefan Ram: >>> Heute [2025-12-25] vor 25 Jahren [2000-12-25]: >>> >>> Willard Van Orman Quine stirbt. >>> >>> Quine leistete mit seine Arbeiten zu Logik und Mengenlehre >>> Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik. Mit seinen Axiomen >>> "new foundations" versuchte er, eine Mengenlehre aufzubauen, >>> die bekannte Paradoxien vermeidet. >> >> Aus meiner Sicht ist NF so nahe dran an einer "naiven Mengenlehre", >> wie es eine Mengenlehre, die die bekannten Paradoxien (offenbar) >> vermeidet, nur sein kann. >> >> Tatsächlich besteht sie aus genau 2 Axiomen (bzw. Axiomenschemata): >> >> Extensionality: AxAy(Az(z e x <-> z e y) -> x = y) >> >> Restricted Comprehension: ExAy(y e x <-> Phi[y]) , >> >> wobei Phi[.] gewissen Bedingungen gehorchen muss. Es ist klar, dass >> hier nicht JEDE Formel zugelassen sein kann, weil z. B. "y !e y" >> sofort auf die Russellsche Antinomie führen würde, aber "y = y" ist z. >> B. zulässig (was bedeutet, dass es in NF eine "Allmenge" gibt). > > Es hat schon was, eine Menge zu haben, die ALLE Mengen (also auch sich > selbst) als Elemente enthält. Man kann dann auch das Komplement einer Menge M so definieren: M^c = V \ M , mit V = {x | x = x}. Es gilt dann für jede Menge A: (M^c)^c = A . > Lit.: T. E. Foster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an > Untyped Universe > > Abstract: "Set theory is concerned with the foundation of mathematics. > In the original formulations of set theory, there were paradoxes > contained in the idea of the "set of all sets". Current standard theory > (Zermelo-Fraenkel) avoids these paradoxes by restricting the way sets > may be formed by other sets, specifically to disallow the possibility of > forming the set of all sets. In the 1930s, Quine proposed a different > form of set theory in which the set of all sets - the universal set - is > allowed, but other restrictions are placed on these axioms. Since then, > the steady interest expressed in these non-standard set theories has > been boosted by their relevance to computer science. The second edition > still concentrates largely on Quine's New Foundations, reflecting the > author's belief that this provides the richest and most mysterious of > the various systems dealing with set theories with a universal set." > > Wen's interessiert: https://randall-holmes.github.io/Bibliography/ > setbiblio.html > > -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 28 Dec 2025 02:51:20 +0100 TEMA : Re: Heute vor 25 Jahren NUMBER: 29534 SIZE : 5874 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 23:53 schrieb Moebius: > Am 26.12.2025 um 23:20 schrieb Moebius: >> Am 24.12.2025 um 17:53 schrieb Stefan Ram: >>> Heute [2025-12-25] vor 25 Jahren [2000-12-25]: >>> >>> Willard Van Orman Quine stirbt. >>> >>> Quine leistete mit seine Arbeiten zu Logik und Mengenlehre >>> Beiträge zu den Grundlagen der Mathematik. Mit seinen Axiomen >>> "new foundations" versuchte er, eine Mengenlehre aufzubauen, >>> die bekannte Paradoxien vermeidet. >> >> Aus meiner Sicht ist NF so nahe dran an einer "naiven Mengenlehre", >> wie es eine Mengenlehre, die die bekannten Paradoxien (offenbar) >> vermeidet, nur sein kann. > > Im Gegensatz dazu muss man in den "üblichen" Mengenlehren ZFC, NBG, MK, > usw. die Existenz vieler Mengen, die aus "naiver Sicht" > selbstverständlich existieren sollten, axiomatisch fordern/ > sicherstellen. Das mag zwar aus "mathematischer Sicht" in Ordnung sein, > "philosophisch" ist es aber nur wenig "zufriedenstellend". > > Freges Ansatz scheiterte daran, dass er "de facto" > > ExAy(y e x <-> Phi[y]) > > OHNE Einschränkungen in Bezug auf Phi[.] akzeptiert hat (->Russellsche > Antinomie). Quines modifizierter Ansatz garantiert zwar nicht, dass die > Theorie nun widerspruchsfrei ist, aber die bekannten Antinomien der > "naiven Mengenlehre" sind (prima facie) ausgeschlossen. > > Mehr noch: > > "Since 2015, several candidate proofs by Randall Holmes of the > consistency of NF relative to ZF were available both on arXiv and on the > logician's home page. His proofs were based on demonstrating the > equiconsistency of a "weird" variant of TST, "tangled type theory with > λ-types" (TTTλ), with NF, and then showing that TTTλ is consistent > relative to ZF with atoms but without choice (ZFA) by constructing a > class model of ZFA which includes "tangled webs of cardinals" in ZF with > atoms and choice (ZFA+C). These proofs were "difficult to read, insanely > involved, and involve the sort of elaborate bookkeeping which makes it > easy to introduce errors". In 2024, Sky Wilshaw formalized a version of > Holmes' proof using the proof assistant Lean, finally resolving the > question of NF's consistency." (Wikipedia) > > Again: > > "since 2010, Holmes has claimed to have shown that NF is consistent > relative to the consistency of standard set theory (ZFC). In 2024, Sky > Wilshaw demonstrated the most complex part of Holmes's proof, > particularly the construction of a model for Tangled Type Theory (TTT) > using the Lean proof assistant." (Wikipedia) > > Kurz (wenn das stimmt): Es gibt keinen Grund mehr "an NF zu zweifeln", > wenn man ZFC "akzeptiert". Ein SEHR STARKES Ergebnis! > > Passend dazu aus einem Aufsatz von Thomas Forster: > > "Indeed as far as we know we can safely add to NF some axioms to say > that the wellfounded sets form a model of ZFC. According to this view, > NF does not so much contradict ZFC as cover extra topics, such as the > universal set – phenomena about which ZF has nothing to say. This > underpins the view held by both Church and Quine, albeit in different > ways, that a synthesis of ZFC and NF could be obtained along these lines." > > https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ > >> Tatsächlich besteht sie aus genau 2 Axiomen (bzw. Axiomenschemata): >> >> Extensionality: AxAy(Az(z e x <-> z e y) -> x = y) >> >> Restricted Comprehension: ExAy(y e x <-> Phi[y]) , >> >> wobei Phi[.] gewissen Bedingungen gehorchen muss. Es ist klar, dass >> hier nicht JEDE Formel zugelassen sein kann, weil z. B. "y !e y" >> sofort auf die Russellsche Antinomie führen würde, aber "y = y" ist z. >> B. zulässig (was bedeutet, dass es in NF eine "Allmenge" gibt). >> >> Interessant ist in diesem Zusammenhang viell. dass NF kein "axiom of >> infinity" benötigt: Die Existenz unendlicher Mengen folgt schon aus >> den beiden Axiomen allein. >> >> Lit.:https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ Viell. beateht ja Interessa daran: https://www.cambridge.org/core/books/quine-new-foundations-and-the-philosophy-of-set-theory/005B1ADD62287628BD2DDEC223880DC6 > P.S. Wer sich für den "Qualitätsunterschied" der deutschen Wikipedia im > Vergleich zur englischsprachige Wikipedia interessiert, soll mal > > https://de.wikipedia.org/wiki/New_Foundations > > mit > > https://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations > > vergleichen. "Gruselig" trifft es bei weitem nicht. :-( > > > > > > > -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 28 Dec 2025 02:52:20 +0100 TEMA : Re: Heute vor 25 Jahren NUMBER: 29535 SIZE : 1576 --------------------------------------------- Am 26.12.2025 um 23:53 schrieb Moebius: >> Lit.:https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ Viell. besteht ja Interesse daran: https://www.cambridge.org/core/books/quine-new-foundations-and-the-philosop= hy-of-set-theory/005B1ADD62287628BD2DDEC223880DC6 -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren gepr=C3=BCft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Moebius DATE : Sun, 28 Dec 2025 02:53:46 +0100 TEMA : Re: Heute vor 25 Jahren NUMBER: 29536 SIZE : 1717 --------------------------------------------- Am 28.12.2025 um 02:52 schrieb Moebius: > Am 26.12.2025 um 23:53 schrieb Moebius: >> >> Lit.:https://plato.stanford.edu/entries/quine-nf/ >> > Viell. besteht ja Interesse daran: Selbst im dumpf-dummen Deutschland ... > https://www.cambridge.org/core/books/quine-new-foundations-and-the- > philosophy-of-set-theory/005B1ADD62287628BD2DDEC223880DC6 > > > -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren gepr=C3=BCft. www.avast.com ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : wm DATE : Sun, 28 Dec 2025 16:25:32 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?= NUMBER: 29537 SIZE : 2131 --------------------------------------------- Am 27.12.2025 um 11:51 schrieb Blacky Cat: > Am 26.12.2025 um 21:48 schrieb Martin Vaeth: > >> Das ist auch das einzig Sinnvolle: Eine Summe ist induktiv definiert; >> nur bei endlich vielen Summanden kann man also überhaupt von einer >> Summe sprechen. > > - auch für endliche kann man nicht von Summe reden Doch, man kann und tut das. > - von Summe redet man in der Algebra, nicht in der Mengenlehre-Beschaung > da in der Mengenlehre nicht addiert oder multipliziert wird Die Mengenlehre liefert in ihren Grundlagen Symbole, die heute in allen Bereichen der Mathematik gebraucht werden - also auch dort, wo man addiert und Summen bildet. Gruß, WM ------------------------- GRUPPE: de.sci.mathematik FROM : Blacky Cat DATE : Sun, 28 Dec 2025 19:28:39 +0100 TEMA : =?UTF-8?Q?Re=3A_Summationsmethoden_f=C3=BCr_divergente_Reihen?= NUMBER: 29538 SIZE : 7686 --------------------------------------------- Am 28.12.2025 um 16:25 schrieb wm: > Die Mengenlehre liefert in ihren Grundlagen Symbole, die heute in allen > Bereichen der Mathematik gebraucht werden - also auch dort, wo man > addiert und Summen bildet. warum versuchst Du immer zu stängern ? Das die Grundlagen-Symbole in der Mengenlehre die gleichen sind wie die in der Algebra (oder anderen Bereichen der Mathematik), ist sehr bedau- erlich: da hier wie wir ja schon herausgearbeitet Haben: "Mehrdeutig- keiten" entstehen, die gerade in der Mathematik vermieden werden sollen. Wenn Du die Mengenlehre betrachten willst, musst Du auf unterster Stufe anfangen - weil die Mengenlehre die Grundlage von ALLEM anderen Domains was Mathe belangt, ist. So werden in der Hochschule oder auch in den erweiterten Schulen - nach der Grundschule, Taschenrechner eingesetzt. - Taschenrechner sind dumme Computer-Maschienen - die können nicht addieren oder multiplizieren - die verstehen nicht, was der Mensch sich bei der Berechnung denkt - sie liefern nur Ergebnisse, mit keinen Geist dahunter - sie funktionieren auf reinster Logik - die Grundlagen der Logik bilden die Symbole 0 und 1 - in alten Mathebüchern kann man diese Symbole auch als O oder L wieder- finden - sie denken nicht bio-chemisch - es gilt O = Strom liegt nicht an - es gilt L = Strom liegt an - diese zwei Zustände werden einzig und alleine durch kleine Transistor- en angenommen - solche Transistoren werden in einer Reihe geschaltet, also liniear - eine weitere Stufe höher werden mathematische Operatoren eingeführt: - UND, ODER, ... - diese Operatoren werden von der Flußrichtung des Stromes beeinflußt - hierbei gilt: der erste Gewinnt * an Leitungen wird Strom angelegt * kommt eine Abzweigung, wird der Strom pro Abzweig getrennt - das hat zur Folge das der Strom schwächer wird - wenn dann mehrere Abzweigungen vorhanden sind, wird meist mit dem stärkeren Elektronen-Fluß weiter geleitet, bis wieder eine Komponente kommt, mit der man physikalisch bedingt Grenzen setzen oder öffnen kann, so dass der Strom weiter fließen kann - oder auch nicht (das macht man zum Beispiel mit Dioden) - und das sind die tiefsten Grundlagen der Mathematik, wobei man noch keine Addition durchgeführt hat. - die Operatoren, die ich oben angesprochen habe, sind keine addierungs- Funktionen im strikten Sinne - damit man was addieren kann, müssen mindestens 2 Operatoren vorhanden sein, die mittels UND - Verknüpfung zusammen geschaltet werden - die UND-Verknüpfung gilt auch in der Mengenlehre als Addition (aber: keine algebraische!). - bei der UND-Verknüpfung werden verschiedene Dinge geprüft: O + O = O <-- Strom wird nicht weiter geleitet O + L = O <-- ... L + O = O <-- ... L + L = L <-- Strom wird weiter geleitet - der UND-Operator ist im Prinzip eine elektronische Komponente, die zwei Stromleitungen A und B als Eingang zur Verfügung stellt und dann an Hand von Bool'schen Wahrheitstafeln/werte prüft, ob auf A oder B oder auf A und B Strom anliegt - der Operator wäre hier dann + und in diesen Fall hier: UND - man kann auch den Multiplikation-Operator verwenden, also: * - beide Operatoren haben das gleich an sich: sie verdoppeln ein (meß- bares) Ergebnis - wenn man hier dann höher gehen möchte: - die Computer-Maschienen vefügen über eine zentrale Rechen-Einheit, die in den IT-Bereichen als CPU genannt wird - innerhalb dieser CPU befinden sich Millionen von Transitoren, die je nach Bauart schneller oder langsamer sind - je schneller diese CPU's werden, umso stärker hat man mit der Hitze- einwirkung zu kämpfen... - Rechenanlagen haben als nächstes eine weitere wichtige Einrichtung: das Bus-System - das Bus-System legt unter anderem fest, wieviel Bits in der Sekunde nach einen Adressbus oder Datenbus gesendet werden können - das Bus-System, so sagt man, hat eine Bandbreite - die Bandbreite gibt an, wieviel Bit gleichzeitig gesendet werden können - die Bus-Breite wird gemessen in 8, 16, 32, oder 64-Bit - 1 Bit kann die oben schon erwähnten zwei Zustände annehmen O oder L - jetzt werden die Bits gebündelt - als Beispiel hat in einen 8-Bit System der Wert 0 0 0 0 0 0 0 1 einen Befehl zu geordnet bekommen der Wert 0 0 0 0 0 0 1 1 hat ebenfalls einen (anderen) Befehl zu geordnet bekommen, womit die CPU weiß, was sie mit den ankommenden Daten machen soll (sie kann diese Daten aber auch senden) - es ist aber wichig hierbei, das keine 0 gestrichen werden darf und die Bandbreite darf dann auch zwischendurch nicht geändert werden, da sonst Chaos entstehen würde - A der Befehl für 0 0 0 0 0 0 0 1 könnte sein: schalte Grafikkarte - B der Befehl für 0 0 0 0 0 0 1 1 könnte sein: lade BIOS Adresse für das Betriebssystem - solche Befehle werden von CPU zu einer anderen CPU anders sein - der Befehl A wird dann für Programmierer verständlich in eine lesbare Form gebracht - zum Beispiel INT 0x10 <-- schalte Grafikkarte (Interrupt) - zum Beispiel JMP 0x7FC <-- springe zu 0x7FC im Programme-Code - solche Befehle (INT und JMP) werden im englischen als Menomic genannt - hier mit hat man aber noch kein Betriebssystem - erst die zusammen-Führung der einzelnen Komponenten am und im Computer mit den richtigen Befehlen, laßt ein Betriebssystem entstehen. - und andere Programmierer entwickeln auf Grundlage eines Compilers, der eine Programmier-Sprache in die von Computer verständlichen Menomics - Compiler werden meist vom Betriebsystem-Hersteller mitgeliefert oder sind teils frei oder aber auch käuflich zu erhalten - diese Programmierer entwickeln dann auf höher Ebene und nicht mehr wie Assembler-Programmierer auf niedrieger Ebene - hier entstehen dann Programme wie Taschenrechner, wo man dann tatsäch- lich "addieren" kann Tjor, das war dann auch die hexerrei im Prinzip. Aber davon bekommt man ja nichts mit, wenn man die Einführungs-Kurse vernachläßigt oder erst garnicht hingeht/besucht. Blacky -- Diese E-Mail wurde von Avast-Antivirussoftware auf Viren geprüft. www.avast.com