A Example:

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

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num: 29664


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : =?UTF-8?Q?Alfred_Fla=C3=9Fhaar?= 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 14:40:07 +0100
TEMA  : Re: Die Dirac'sche Delta-Funktion
NUMBER: 29654
SIZE  : 1496
---------------------------------------------
Am 02.12.2025 um 14:00 schrieb Stefan Ram:
> ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>> |the theory of distributions does interpret the symbol δ in
>> |∫f(x)δ(x) dx as the distribution itself
> 
>   Und außerdem kann man möglichweise noch den Raum der "reellen
>   Funktionen" "vervollständigen", so daß man einen neuen Raum erhält,

Was sagt der Satz von Hausdorff dazu? ;-)

>   der dann auch Grenzwerte wie "δ" enthält, und so tatsächlich dem
>   Symbol "δ" einen Sinn geben. Aber dieser Grenzwert ist dann (formal)
>   keine Abbildung von Testfunktionen in die reellen Zahlen.

(...)

Gruß, Alfred Flaßhaar

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Stefan Ram 
DATE  : 2 Dec 2025 14:14:15 GMT
TEMA  : Re: Die Dirac'sche Delta-Funktion
NUMBER: 29655
SIZE  : 2371
---------------------------------------------
ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) schrieb oder zitierte:
>Die Mißverständnisse kommen vielleicht daher, daß man manchmal
>Räume mit ihren Dualräumen identifiziert. Spekulation von mir:
>Das Symbol "delta" könnte dann der zur Distribution f :--> f(0)
>duale "Vektor" sein.

  Ja. Nach dem Riesz'schen Darstellungssatz existiert für jedes
  Funktional "u" aus "(L^p)*" ein "g" aus "L^p", so daß "u(f)
  = int f(x) g(x) dx".

  Die Dirac'sche Delta-Funktion gehört nun zwar nicht zu einem
  L^p, aber ich nehme an, man kann geeignete Räume S und S'
  finden, so daß das Funktional "u0: f :--> f(0)" aus S durch
  ein "delta" aus S' in der kanonischen Paarung ""
  dargestellt werden kann, und dieses "" schreibt
  man traditionell eben "int delta(x) f(x) dx".

  Damit ist "delta" nicht das Funktional "u0" selber. Es wird aber
  anscheinend ständig damit identifiziert, so daß Spezialisten den
  Unterschied vielleicht nicht mehr wahrnehmen.



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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Hans Crauel 
DATE  : 2 Dec 2025 14:19:46 GMT
TEMA  : Re: Die Dirac'sche Delta-Funktion
NUMBER: 29656
SIZE  : 1490
---------------------------------------------
Stefan Ram schrieb

>   Disclaimer: Ich hatte einen ähnlichen Gedanken schon vor Jahren hier
>   einmal gepostet. Aber vielleicht kann ich ihn heute noch etwas klarer
>   fassen und an Hand des Chatbots die üblichen Redeweisen illustrieren.
> 
>   Die Dirac'sche Delta-Funktion "delta" tritt traditionell in Integralen
>   wie
> int f(x) delta(x) dx
>   auf. 

Wird in  recht 
brauchbar erläutert. 

> Der Chatbot verwickelt sich in Widersprüche. 

Darauf sollte man wirklich nichts geben. 
Es ist müßig, dem nachzugehen. 

Eine gute und verlässliche Darstellung gibt Wolfgang Walter 
in "Einführung in die Theorie der Distributionen", Referenz 
findet sich im Wiki-Artikel. 

Hans 

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 17:25:27 +0100
TEMA  : Re: Die Dirac'sche Delta-Funktion
NUMBER: 29657
SIZE  : 1013
---------------------------------------------
sind Kugel-koordinaten sowas wie Pulsare ?

Blacky

-- 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Mild Shock 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 17:41:40 +0100
TEMA  : Busy Beaver and Theory Consistency (Re: Something cool from Augsburg!)
NUMBER: 29658
SIZE  : 4549
---------------------------------------------
Hi,

If you know BB(N), you have a halting decision procedure
for N-turing machines. Since if BB(N) is maximum number
S(N) of steps before halting,

you can just run an arbitrary turing machine, and when
its steps exceeds S(N), you know its not a halting
turing machine.

So knowing BB(N) makes the halting problem decidable.
But the halting problem is not decidable. So there
must be some M maybe where BB(M) has no S(N) , no

maximum. Idea is to construct turing machines that
relate to consistency problems, consistency problems
can be even harder than halting problems, we might

ask for the opposite, does a program never halt.
Since never halt could be interpreted that no
inconsistency is derived. Again knowing BB(N) would

help, since dedidability via S(N) is established both
ways, saying "Yes" to halt, and saying "No" to halt.
So we can show a reducibility from consistency

to busy beaver, I guess.

Bye

Mild Shock schrieb:
> Hi,
> 
> Man kann vielleicht Prof. Wolfgang Mückenheim ankreiden,
> dass seine Studenten wahrscheinlich sehr wenig lernen.
> Aber wer braucht schon Schule um Mathematik zu lernen?
> 
> Hier ein Beispiel wie Augsburger trotz Schule, oder
> vielleicht eben gerade wegen Schule, brilliant sein können:
> 
> The Undecidability of BB(748)
> Understanding Gödel’s Incompleteness Theorems
> Johannes Riebel - March 2023
> https://www.ingo-blechschmidt.eu/assets/bachelor-thesis-undecidability-bb748.pdf 
> 
> 
> Etwas Kontext zum Problem:
> 
> The Busy Beaver Frontier
> Scott Aaronson
> https://www.scottaaronson.com/papers/bb.pdf
> 
> Viel Spass!
> 
> Bye
> 
> Moebius schrieb:
>>
>> "Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm
>> unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das 
>> nicht gelten" (WM)
>>
>> Also erst mal, Herr Mückenheim, gilt:
>>
>> | Für jedes n ∈ ℕ gibt es unendlich viele m ∈ ℕ, so dass m > n ist.
>>
>> Hinweis: Der Begriff "erkennbares Individuum" ist in der Mathematik 
>> nicht definiert, und muss daher im Kontext der Mathematik weggelassen 
>> werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte.*
>>
>> Symbolisch ausgedrückt:
>>
>> | ∀n ∈ ℕ: E^oo m ∈ ℕ: m > n.**
>>
>> Hinweis: "∀n ∈ ℕ" ist ein QUANTOR, aber kein Term/Name, der irgend 
>> etwas bezeichnet.
>>
>> Also ja, für alle n ∈ ℕ (∀n ∈ ℕ) gilt: E^oo m ∈ ℕ: m > n.
>>
>> Das versteht jede Kind nur Sie nicht (->Unendlichkeitsdyskalkulie):
>>
>>        1, 2, 3, ..., n, n+1, n+2, n+3, ...
>>
>> Der "Abschnitt" 1, 2, 3, ..., n umfasst (für jedes n ∈ ℕ) nur ENDLICH 
>> VIELE (nämlich n) Zahlen, der "Abschnitt" n+1, n+2, n+3, ... jedoch 
>> UNENDLICH VIELE Zahlen (da AUF JEDE nat. ZAHL m die Zahl m+1 folgt, 
>> die größer ist als m)***.
>>
>> _______________________________________________________________________
>>
>> *) "WM's conclusions are based on the sloppiness of his notions, his 
>> inability of giving precise definitions, his fundamental 
>> misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, 
>> as the late Dik Winter remarked, on nothing at all." (Franz Lemmermeyer)
>>
>> **) Beware of the quantifier shift! Nicht mit "E^oo m ∈ ℕ: ∀n ∈ ℕ: m > 
>> n" velwechsern, Mückenheim!
>>
>> ***) Symbolisch würde man das so ausdrücken: ∀m ∈ ℕ: m+1 ∈ ℕ & m+1 > m.
>>
>> .
>> .
>> .
>>
>>
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Mild Shock 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 17:43:34 +0100
TEMA  : Busy Beaver and Theory Consistency (Re: Something cool from Augsburg!)
NUMBER: 29659
SIZE  : 4553
---------------------------------------------
Hi,

If you know BB(N), you have a halting decision procedure
for N-turing machines. Since if BB(N) is maximum number
S(N) of steps before halting,

you can just run an arbitrary turing machine, and when
its steps exceeds S(N), you know its not a halting
turing machine.

So knowing BB(N) makes the halting problem decidable.
But the halting problem is not decidable. So there
must be some M maybe where BB(M) has no S(N) , no

maximum. Idea is to construct turing machines that
relate to consistency problems, consistency problems
can be even harder than halting problems, we might

ask for the opposite, does a program never halt.
Since never halt could be interpreted that no
inconsistency is derived. Again knowing BB(N) would

help, since dedidability via S(N) is established both
ways, saying "Yes" to halt, and saying "No" to not halt.
So we can show a reducibility from consistency

to busy beaver, I guess.

Bye

Mild Shock schrieb:
> Hi,
> 
> Man kann vielleicht Prof. Wolfgang Mückenheim ankreiden,
> dass seine Studenten wahrscheinlich sehr wenig lernen.
> Aber wer braucht schon Schule um Mathematik zu lernen?
> 
> Hier ein Beispiel wie Augsburger trotz Schule, oder
> vielleicht eben gerade wegen Schule, brilliant sein können:
> 
> The Undecidability of BB(748)
> Understanding Gödel’s Incompleteness Theorems
> Johannes Riebel - March 2023
> https://www.ingo-blechschmidt.eu/assets/bachelor-thesis-undecidability-bb748.pdf 
> 
> 
> Etwas Kontext zum Problem:
> 
> The Busy Beaver Frontier
> Scott Aaronson
> https://www.scottaaronson.com/papers/bb.pdf
> 
> Viel Spass!
> 
> Bye
> 
> Moebius schrieb:
>>
>> "Tatsächlich gilt für jedes erkennbare Individuum n ∈ ℕ, dass ihm
>> unendlich viele natürliche Zahlen nachfolgen. Für ∀n ∈ ℕ kann das 
>> nicht gelten" (WM)
>>
>> Also erst mal, Herr Mückenheim, gilt:
>>
>> | Für jedes n ∈ ℕ gibt es unendlich viele m ∈ ℕ, so dass m > n ist.
>>
>> Hinweis: Der Begriff "erkennbares Individuum" ist in der Mathematik 
>> nicht definiert, und muss daher im Kontext der Mathematik weggelassen 
>> werden, wenn man etwas Sinnvolles behaupten möchte.*
>>
>> Symbolisch ausgedrückt:
>>
>> | ∀n ∈ ℕ: E^oo m ∈ ℕ: m > n.**
>>
>> Hinweis: "∀n ∈ ℕ" ist ein QUANTOR, aber kein Term/Name, der irgend 
>> etwas bezeichnet.
>>
>> Also ja, für alle n ∈ ℕ (∀n ∈ ℕ) gilt: E^oo m ∈ ℕ: m > n.
>>
>> Das versteht jede Kind nur Sie nicht (->Unendlichkeitsdyskalkulie):
>>
>>        1, 2, 3, ..., n, n+1, n+2, n+3, ...
>>
>> Der "Abschnitt" 1, 2, 3, ..., n umfasst (für jedes n ∈ ℕ) nur ENDLICH 
>> VIELE (nämlich n) Zahlen, der "Abschnitt" n+1, n+2, n+3, ... jedoch 
>> UNENDLICH VIELE Zahlen (da AUF JEDE nat. ZAHL m die Zahl m+1 folgt, 
>> die größer ist als m)***.
>>
>> _______________________________________________________________________
>>
>> *) "WM's conclusions are based on the sloppiness of his notions, his 
>> inability of giving precise definitions, his fundamental 
>> misunderstanding of elementary mathematical concepts, and sometimes, 
>> as the late Dik Winter remarked, on nothing at all." (Franz Lemmermeyer)
>>
>> **) Beware of the quantifier shift! Nicht mit "E^oo m ∈ ℕ: ∀n ∈ ℕ: m > 
>> n" velwechsern, Mückenheim!
>>
>> ***) Symbolisch würde man das so ausdrücken: ∀m ∈ ℕ: m+1 ∈ ℕ & m+1 > m.
>>
>> .
>> .
>> .
>>
>>
> 


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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : Blacky Cat 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 18:19:58 +0100
TEMA  : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29660
SIZE  : 2017
---------------------------------------------
Am 02.12.2025 um 14:26 schrieb Carlos Naplos:
> In f^{-1}(b) != 0 bezeichnet "0" die leere Menge.


Für mich bedeutet das Symbol "!=" soviel wie: "kleiner oder größer als".
In meiner Hobbystube verwende ich es beim Programmieren von Vergleichen.
Bei mathematischen Formalismus würde ich nun weitergedacht =/= schreiben
oder als Different von A \ B aufzeigen.

f ^{-1}(b) != 0.

ist das so eine Formulierung wie: ... iff - wenn a und b != 0 sind ?

- in Form von:
=>  -a *  b.  =>  -1  *  1 = -1.
=>   a * -b.  =>  -1  * -1 =  1.  ??

- für mich ergibt sich mehr der Sinn darin (für leere Menge):
=>  -a *  b.  =>  -1  *  0 = 0.
=>   a * -b.  =>   0  * -1 = 0.

Blacky

-- 
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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : wm 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 18:39:51 +0100
TEMA  : =?UTF-8?Q?Beweisn_f=C3=BCr_dunkle_Zahlen?=
NUMBER: 29661
SIZE  : 2133
---------------------------------------------
Am 02.12.2025 um 06:45 schrieb Moebius:

>> | Für jedes n ∈ ℕ gibt es unendlich viele m ∈ ℕ, so dass m > n ist.
> 
> Offenbar benötigt Herr Mückenheim einen Beweis für diesen trivialen 
> Satz. Dazu formulieren wir den Satz (erst mal) in der übliche Sprache 
> der Mengenlehre.
> 
> Satz: ∀n ∈ ℕ: unendlich({m ∈ ℕ : m > n}).  (*)
> Da n0 ein beliebiges Element aus ℕ war, 
> gilt das für ALLE Element aus ℕ.

Hier liegt der Fehler!
Jedes beliebte Element n ∈ ℕ gehört zu einer endlichen Menge. Die Menge 
ℕ ist dagegen unendlich. Die folgende Trivialität gilt in jedem Falle, 
also für potentielle und aktuale Unendlichkeit: Am Ende der Zeiten 
werden nur vergleichsweise kleine Zahlen beliebt (individualisiert) 
worden sein. Fast alle Zahlen bleiben dunkel, d.h sie sind nicht 
individuell bekannt. Und falls Du nicht an ein Ende glaubst: Der Satz 
gilt zu jedem Zeitpunkt. Wie hochnäsig und weltabgewandt Mathematiker 
doch sein müssen, die glauben, alle Zahlen als Individuen verwenden zu 
können! ES GEHT NICHT. Und das hat nichts mit materiellen Beschränkungen 
zu tun.

Gruß, WM

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : wm 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 18:53:16 +0100
TEMA  : =?UTF-8?Q?Beweis_f=C3=BCr_dunkle_Zahlen?=
NUMBER: 29662
SIZE  : 1762
---------------------------------------------
Am 02.12.2025 um 11:19 schrieb Moebius:

> ∀n ∈ ℕ: E^oo m ∈ ℕ: m > n --- beweisbar

aber nur in einer fehlerhaften Theorie, die glücklicherweise ohne jede 
praktische Anwendung geblieben ist (obwohl ihr Erfinder an Anwendungen 
auf die Naturwissenschaften: Physik, Chemie, Mineralogie, Botanik, 
Zoologie, Anthropologie, Biologie, Physiologie, Medizin etc. glaubte), 
weshalb sich keine Probleme ergeben, wenn sie verworfen wird.
> 
> E^oo m ∈ ℕ: ∀n ∈ ℕ: m > n --- widerlegbar.

Siehst Du wenigstens ein, dass zu allen jemals als Individuen 
definierten natürlichen Zahlen unendlich viele niemals definierte 
größere existieren? Für manche mehr, für andere weniger, aber immer 
unendlich viele.

Gruß, WM

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GRUPPE: de.sci.mathematik
FROM  : wm 
DATE  : Tue, 2 Dec 2025 19:43:09 +0100
TEMA  : Re: Weder zerlegbar noch prim . . .
NUMBER: 29663
SIZE  : 1592
---------------------------------------------
Am 02.12.2025 um 18:19 schrieb Blacky Cat:

> Für mich bedeutet das Symbol "!=" soviel wie: "kleiner oder größer als".
> In meiner Hobbystube verwende ich es beim Programmieren von Vergleichen.
> Bei mathematischen Formalismus würde ich nun weitergedacht =/= schreiben

Das tue ich auch und habe es, soviel ich weiß, als erster getan. 
Vielleicht wird es deswegen selten gebraucht.

Gruß, WM